2023年广东省东莞第四高级中学高考数学三模试卷

一.单选题

• 1．已知全集U和它的两个非空子集A，B的关系如图所示，则下列命题正确的是（　　）

  A．∃x∉A，x∈B

  B．∀x∉A，x∉B

  C．∃x∈B，x∉A

  D．∀x∉B，x∈A
  组卷：400引用：4难度：0.7

  解析

• 2．已知复数1+i是关于x的方程x²+px+q=0（p,q∈R）的一个根，则|p+qi|=（　　）

  A．4

  B． 2 3

  C．8

  D． 2 2
  组卷：171引用：5难度：0.8

  解析

• 3．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，则这两个节气不在同一个月的概率为（　　）

  A． 4 5

  B． 1 2

  C． 1 5

  D． 1 10
  组卷：38引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知向量

  a

  =

  （

  2

  ，-

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  3

  ）

  ，则向量

  a

  +

  2

  b

  在向量

  a

  方向上的投影向量为（　　）

  A．（6，-3）

  B． （ 2 5 ，- 5 ）

  C． （ 6 5 5 ，- 3 5 5 ）

  D． （ 6 5 ，- 3 5 ）
  组卷：151引用：3难度：0.8

  解析

• 5．如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为8cm,下底部直径为12cm,上面开口圆的直径为20cm,现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），若用直径为10cm的圆柱形容量器取液态原料（不考虑损耗），则圆柱中需要注入液态原料的高度约为（　　）（单位：cm）

  A．2.26

  B．10.45

  C．4.12

  D．4.61
  组卷：61引用：3难度：0.7

  解析

• 6．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（　　）

  A．14π

  B．18π

  C．30π

  D．44π
  组卷：283引用：9难度：0.7

  解析

• 7．双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁（-c,0），F₂（c,0），以C的实轴为直径的圆记为D，过F₁作D的切线与曲线C在第一象限交于点P，且

  S

  △

  F

  1

  P

  F

  2

  =

  4

  a

  2

  ，则曲线C的离心率为（　　）

  A． 5

  B． 5 + 1 2

  C． 5 - 1

  D． 2
  组卷：289引用：9难度：0.5

  解析

四.解答题

• 21．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  2

  2

  ，

  A

  ，

  B

  分别为椭圆C的上、下顶点，且

  |

  AB

  |

  =

  2

  2

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）若直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点（异于点A，B），且△OMN的面积为

  2

  ，过点A作直线AT∥OM，交椭圆C于点T，求证：BT∥ON．
  组卷：97引用：3难度：0.4

  解析

• 22．已知函数f（x）=1-cosx.
  （1）证明：

  f

  （

  x

  ）

  ≤

  x

  2

  2

  ；
  （2）证明：函数h（x）=aln（x+1）-f（x）（0＜a＜1）在

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  上有唯一零点x₀，且

  x

  0

  ＞

  4

  a

  +

  1

  -

  1

  ．
  组卷：97引用：4难度：0.3

  解析