2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．下列关系中正确的是（　　）

  A．π∈Q	B．∅⊆{0}
  C．{0，1}⊆{（0，1）}	D．{（a,b）}={（b,a）}
  组卷：37引用：1难度：0.7

  解析

• 2．设a,b∈R，则”a＞2且b＞1”是”a+b＞3且ab＞2”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：80引用：8难度：0.9

  解析

• 3．已知a+

  1

  a

  =3，则

  a

  1

  2

  +

  a

  -

  1

  2

  等于（　　）

  A．2

  B． 5

  C．- 5

  D． ± 5
  组卷：181引用：5难度：0.9

  解析

• 4．已知函数f（x²-1）=x⁴+1，则函数y=f（x）的解析式是（　　）

  A．f（x）=x2+2x+2，x≥0	B．f（x）=x2+2x+2，x≥-1
  C．f（x）=x2-2x+2，x≥0	D．f（x）=x2-2x+2，x≥-1
  组卷：320引用：24难度：0.8

  解析

• 5．已知

  A

  =

  {

  x

  |

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  -

  3

  +

  2

  x

  -

  4

  }

  ，B={x|x²-8x+15≤0}．则A∩B=（　　）

  A．[2，5]

  B．[3，5]

  C．（3，5]

  D．（2，+∞）
  组卷：26引用：1难度：0.8

  解析

• 6．若两个正实数x,y满足x+y=xy且存在这样的x,y使不等式x+4y＜m²+8m有解，则实数m的取值范围是（　　）

  A．（-1，9）	B．（-9，1）
  C．（-∞，-9）∪（1，+∞）	D．（-∞，-1）∪（9，+∞）
  组卷：112引用：2难度：0.6

  解析

• 7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式

  C

  =

  W

  lo

  g

  2

  （

  1

  +

  S

  N

  ）

  ，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中

  S

  N

  叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比

  S

  N

  从1000提升至4000，则C大约增加了（　　）
  （附：lg5≈0.6990）

  A．22%

  B．33%

  C．44%

  D．55%
  组卷：100引用：6难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

• 21．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为y=f（x）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤90恒成立；③f（x）≤

  x

  5

  恒成立．
  （1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）f（x）=

  1

  15

  x+10；（Ⅱ）f（x）=2

  x

  -6．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
  （2）已知函数f（x）=a

  x

  -10（a≥2）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
  组卷：214引用：8难度：0.5

  解析

• 22．已知定义在R的函数f（x）满足：①对∀x,y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）-1；②当x＞0时，f（x）＜1；③f（1）=-2．
  （1）求f（0），判断并证明f（x）的单调性；
  （2）若∃x∈[-1，1]，使得f（x）≤m²-2am-5对∀a∈[-1，1]成立，求实数m的取值范围；
  （3）解关于x的不等式f（ax²）＜f（（a+2）x）+6．
  组卷：177引用：4难度：0.5

  解析