2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．若i（1-z）=-1，则z+

  z

  =（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．2

  D．1
  组卷：75引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知m,n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

  A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β	B．n∥m,n⊥α⇒m⊥α
  C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α	D．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
  组卷：319引用：9难度：0.6

  解析

• 3．给出下列命题中，正确的命题是（　　）

  A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱

  B．侧棱都相等的棱锥是正棱锥

  C．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱

  D．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
  组卷：29引用：1难度：0.7

  解析

• 4．若向量

  a

  ，

  b

  满足|

  a

  |=2，|

  b

  |

  =

  2

  3

  ，且

  a

  •

  b

  =3，则向量

  b

  与

  b

  -

  a

  夹角的余弦值为（　　）

  A． 3 2

  B． 2 5 9

  C． 7 2 16

  D． 3 30 20
  组卷：168引用：2难度：0.8

  解析

• 5．如图，正方形O′A′B′C′的边长为2cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（　　）cm.

  A．12

  B．16

  C． 4 （ 1 + 3 ）

  D． 4 （ 1 + 2 ）
  组卷：580引用：6难度：0.9

  解析

• 6．已知α∈（0，

  π

  2

  ），cos2α+2sin2α=1，则sinα=（　　）

  A． 1 5

  B． 5 5

  C． 4 5

  D． 2 5 5
  组卷：216引用：2难度：0.7

  解析

• 7．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB=∠BPC=∠APC=120°的点P为△ABC的费马点．已知点E为等边△MNQ的费马点，且

  |

  MN

  |

  =

  6

  ，则

  EM

  •

  EN

  +

  EM

  •

  EQ

  +

  EN

  •

  EQ

  =（　　）

  A．-12

  B．-36

  C． - 12 3

  D．-18
  组卷：132引用：4难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=

  7

  ，

  PA

  =

  3

  ，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
  （1）证明：BD⊥面APC；
  （2）若G满足PC⊥面BGD，求

  PG

  GC

  的值．
  组卷：201引用：1难度：0.8

  解析

• 22．在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足∠BAD=90°），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC=120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD=60°，路宽AD=12m.设灯柱高AB=h（m），∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）．
  （1）当θ=30°时，求四边形ABCD的面积；
  （2）求灯柱的高h（用θ表示）；
  （3）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．
  组卷：78引用：9难度：0.4

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