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2022-2023学年江苏省南京第二十七高级中学高二（上）期初数学试卷（9月份）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、单选题（每题5分，共40分）

1．若复数z=
2
1
+
i
，其中i为虚数单位，则
z
=（　　）
A．1+i B．1-i C．-1+i D．-1-i
组卷：137引用：7难度：0.8
解析
2．已知角α满足
sin
（
α
-
π
4
）
=
6
4
，则
cos
（
2
α
-
π
2
）
=（　　）
A．
-
3
4
B．
3
4
C．
-
1
4
D．
1
4
组卷：145引用：1难度：0.7
解析
3．已知直线
3
x+y-1=0与直线2
3
x+my+3=0平行，则它们之间的距离是（　　）
A．1 B．
5
4
C．3 D．4
组卷：1475引用：19难度：0.7
解析
4．已知圆C的方程为（x-1）²+y²=16，B（-1，0），A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（　　）
A．
x
2
16
+
y
2
9
=
1
B．
x
2
16
-
y
2
9
=
1
C．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
D．
x
2
4
-
y
2
3
=
1
组卷：94引用：4难度：0.8
解析
5．过椭圆的右焦点F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于A，B两点，F₁为椭圆的左焦点，若△F₁AB为正三角形，则椭圆的离心率为（　　）
A．
3
B．
3
3
C．2-
3
D．
2
-1
组卷：216引用：8难度：0.5
解析
6．若圆C₁：x²+y²=1与圆C2：（x-a）²+（y-b）²=1的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有（　　）
A．a²+b²=1
B．a²+b²=14
C．AB中点的轨迹方程为x²+y²=
3
4
D．AB中点的轨迹方程为x²+y²=
9
16
组卷：113引用：4难度：0.5
解析
7．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB'的位置，测得∠PB'C=α（B'C为水平线），测角仪B'D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　）
A．
1
1
+
sinα
米 B．
1
1
-
cosα
米 C．
1
1
-
sinα
米 D．
1
1
+
cosα
米
组卷：52引用：1难度：0.8
解析

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四、解答题（17题10分，其余各题每题12分）

21．如图所示，公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=6km,OB=6
3
km,∠AOB=90°，市政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON=30°．
（1）若M在距离A点4km处，求OM和MN的长度；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积尽可能小，设∠AOM=α，试确定α的值，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．
组卷：82引用：4难度：0.5
解析
22．已知圆C过点A（2，6），且与直线l₁：x+y-10=0相切于点B（6，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（6，24）的直线l₂与圆C交于M，N两点，若△CMN为直角三角形，求直线l₂的方程；
（3）在直线l₃：y=x-2上是否存在一点Q，过Q向圆C引两条切线，切点为E，F，使△QEF为正三角形，若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由．
组卷：279引用：6难度：0.6
解析