2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区侨谊实验中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）

• 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）

  A．（x-2）（x+3）=x-6	B．ax2-bxy+c=0（a≠0）
  C．x2-3xy+2=0	D． x 2 + 2 x + 1 = 0
  组卷：32引用：1难度：0.7

  解析

• 2．一元二次方程x²+3x-1=0根的情况为（　　）

  A．有两个不相等的实数根	B．有两个相等的实数根
  C．没有实数根	D．不能判定
  组卷：135引用：5难度：0.5

  解析

• 3．若2a=3b,则

  a

  +

  b

  a

  的值为（　　）

  A． 5 3

  B． 3 5

  C． 2 5

  D． 5 2
  组卷：231引用：8难度：0.7

  解析

• 4．已知⊙O的直径是10，点P到圆心O的距离是5，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

  A．点P在⊙O内

  B．点P在⊙O上

  C．点P在⊙O外

  D．不能确定
  组卷：64引用：1难度：0.6

  解析

• 5．下列说法中，正确的是（　　）

  A．长度相等的弧是等弧

  B．在同圆或等圆中，等弦对等弧

  C．优弧一定比劣弧长

  D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
  组卷：1347引用：4难度：0.8

  解析

• 6．已知a是方程x²-2x-2023=0的根，则代数式2a²-4a-2的值为（　　）

  A．4044

  B．-4044

  C．2024

  D．-2024
  组卷：594引用：3难度：0.6

  解析

• 7．如图所示，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，CD⊥AB，垂足为点G，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，角度为30°的角的个数为（　　）

  A．2个

  B．3个

  C．4个

  D．5个
  组卷：362引用：4难度：0.5

  解析

• 8．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=9，CD=4，以点A为圆心适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于

  1

  2

  MN的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线AH交BC于点D，作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF，下列结论错误的是（　　）

  A．AD平分∠BAC	B．AF=AE=DE=DF
  C．S△ADF=10	D．S△ADF：S△CDF=5：4
  组卷：215引用：3难度：0.6

  解析

• 9．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a=1，则b=（　　）
  

  A． 5 - 1 2

  B． 5 + 1 2

  C． 5 + 3 2

  D． 2 + 1
  组卷：7914引用：31难度：0.7

  解析

三.解答题（共9小题）

• 26．解答下列问题：
  （1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是

  ˆ

  ABC

  的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程．
  证明：如图2，在CD上截取CG=AB，连接MA、MB、MC和MG．
  ∵M是

  ˆ

  ABC

  的中点，∴

  ˆ

  MA

  =

  ˆ

  MC

  ，
  ∴MA=MC①，
  又∵∠A=∠C②，
  ∴△MAB≌△MCG，
  ∴MB=MG，
  又∵MD⊥BC，
  ∴BD=DG，
  ∴AB+BD=CG+DG，
  即CD=DB+BA，
  根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
  ①

  ，
  ②

  ．
  （2）【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB=8，BC=12，点M是

  ˆ

  ABC

  的中点，MD⊥BC于点D，则BD的长为

  ．
  （3）【变式探究】如图3，若点M是

  ˆ

  AC

  的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
  （4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
  如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC=45°，若AB=12，⊙O的半径为10，求AD长．
  ​
  组卷：342引用：2难度：0.2

  解析

• 27．新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．
  （1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：
  ①直线y=2x+2；②直线y=-x+3；③双曲线y=

  2

  x

  ，是⊙O的关联图形的是

  （请直接写出正确的序号）．
  （2）如图1，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y=-x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．
  （3）如图2，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，-2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线
  x=6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．
  
  组卷：914引用：6难度：0.1

  解析