2020-2021学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（3）

一、选择题（每题4分，共36分）

• 1．已知集合M={-1，0，2，4}，集合N={x|log₂x＜2}，则M∩N=（　　）

  A．{-1，0，2，4}

  B．{0，2，4}

  C．{-1，0，2}

  D．{2}
  组卷：24引用：3难度：0.8

  解析

• 2．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：5549引用：72难度：0.7

  解析

• 3．已知

  a

  =

  3

  1

  2

  ，

  b

  =

  lo

  g

  2

  3

  ，c=log₉2，则a,b,c的大小关系为（　　）

  A．a＞b＞c

  B．a＞c＞b

  C．b＞a＞c

  D．c＞b＞a
  组卷：748引用：5难度：0.8

  解析

• 4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0]时，f（x）=-x²+2x,若实数m满足f（log₂m）≤3，则m的取值范围是（　　）

  A．（0，2]

  B．[ 1 2 ，2]

  C．（0，8]

  D．[ 1 8 ，8]
  组卷：308引用：6难度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知acosA=bcosB，且c²=a²+b²-ab,则△ABC的形状为（　　）

  A．等腰三角形或直角三角形

  B．等腰直角三角形

  C．直角三角形

  D．等边三角形
  组卷：969引用：7难度：0.6

  解析

• 6．已知等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，且S₁，S₂，S₄成等比数列．令

  b

  n

  =

  1

  a

  n

  a

  n

  +

  1

  ，则数列{b_n}的前50项和T₅₀=（　　）

  A． 50 51

  B． 49 50

  C． 100 101

  D． 50 101
  组卷：454引用：9难度：0.5

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三、解答题（每题3分，共32分）

• 19．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC₁=3，点D，E分别在棱AA₁和棱CC₁上，且AD=1，CE=2，M为棱A₁B₁的中点．
  （Ⅰ）求证：C₁M⊥B₁D；
  （Ⅱ）求二面角B-B₁E-D的正弦值；
  （Ⅲ）求直线AB与平面DB₁E所成角的正弦值．
  组卷：7332引用：30难度：0.5

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• 20．已知函数f₁（x）=

  1

  2

  x²，f₂（x）=alnx（其中a＞0）．
  （Ⅰ）求函数f（x）=f₁（x）•f₂（x）的极值；
  （Ⅱ）若函数g（x）=f₁（x）-f₂（x）+（a-1）x在区间（

  1

  e

  ，e）内有两个零点，求正实数a的取值范围；
  （Ⅲ）求证：当x＞0时，lnx+

  3

  4

  x

  2

  -

  1

  e

  x

  ＞0．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）
  组卷：102引用：15难度：0.1

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