鲁教五四版九年级（上）中考题同步试卷：2.8 二次函数的应用（05）

一、填空题（共1小题）

• 1．如图，已知直线y=-

  3

  4

  x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=-

  1

  2

  x²+2x+5上的一个动点，其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=-

  3

  4

  x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是

  ．
  组卷：3775引用：73难度：0.5

  解析

二、解答题（共29小题）

• 2．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；
  （3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
  组卷：3080引用：56难度：0.5

  解析

• 3．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
  （1）求该抛物线的解析式；
  （2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
  （3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：7722引用：58难度：0.5

  解析

• 4．如图，已知二次函数的图象M经过A（-1，0），B（4，0），C（2，-6）三点．
  （1）求该二次函数的解析式；
  （2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；
  （3）设图象M的对称轴为l,点D（m,n）（-1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为

  27

  8

  时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
  组卷：3178引用：51难度：0.5

  解析

• 5．如图，抛物线y=ax²+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．
  （1）求a、c的值．
  （2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．
  （3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：3181引用：57难度：0.5

  解析

• 6．已知关于x的一元二次方程x²+2x+

  k

  -

  1

  2

  =0有两个不相等的实数根，k为正整数．
  （1）求k的值；
  （2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x²+2x+

  k

  -

  1

  2

  的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
  （3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=

  1

  2

  x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．
  组卷：2301引用：56难度：0.5

  解析

• 7．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=

  1

  4

  x²交于A，B两点，其中点A的横坐标是-2．
  （1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．
  （2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
  （3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？
  组卷：7774引用：75难度：0.5

  解析

• 8．已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（m-2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．
  （1）求抛物线解析式．
  （2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂），当|x₁-x₂|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．
  （3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
  组卷：1518引用：50难度：0.5

  解析

• 9．如图，抛物线y=-x²+6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B．过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF．
  （1）求点A，M的坐标．
  （2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
  （3）当BD=1时
  ①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．
  ②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连接PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S₁，S₂，S₃，则S₁：S₂：S₃=

  ．
  组卷：2156引用：52难度：0.5

  解析

• 10．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一交点为A（-6，0），与y轴的交点为C（0，3），且经过点G（-2，3）．
  （1）求抛物线的表达式；
  （2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为S，求S的最大值；
  （3）若点B是抛物线与x轴的另一交点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．
  组卷：2031引用：50难度：0.5

  解析

二、解答题（共29小题）

• 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）²+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q，以PQ为边作Rt△PQF，使∠PQF=90°，点F在点Q的下方，且QF=1．设线段PQ的长度为d,点P的横坐标为m.
  （1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
  （2）求d与m之间的函数关系式．
  （3）当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，求d的值．
  （4）以OB为边作等腰直角三角形OBD，当0＜m＜3时，直接写出点F落在△OBD的边上时m的值．
  组卷：2202引用：50难度：0.5

  解析

• 30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
  （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k,b用含a的式子表示）；
  （2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为

  5

  4

  ，求a的值；
  （3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
  
  组卷：13064引用：62难度：0.5

  解析