2022-2023学年湖南师大附属颐华学校高二（上）入学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知（1-i）²z=3+2i,则z=（　　）

  A．-1- 3 2 i

  B．-1+ 3 2 i

  C．- 3 2 +i

  D．- 3 2 -i
  组卷：4567引用：33难度：0.8

  解析

• 2．命题“∃x∈Z，x²+1是4的倍数”的否定为（　　）

  A．∀x∈Z，x2+1是4的倍数	B．∀x∈Z，x2+1不是4的倍数
  C．∃x∈Z，x2+1不是4的倍数	D．∀x∉Z，x2+1不是4的倍数
  组卷：80引用：10难度：0.8

  解析

• 3．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间是（　　）

  A．（0，1）

  B．（1，2）

  C．（2，3）

  D．（2，4）
  组卷：938引用：16难度：0.8

  解析

• 4．2020年是天津市实施高考综合改革的第一年，新高考规定：语文，数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试中选取3个作为选考科目．某考生已确定选定物理作为自己的选考科目，然后从剩下的5个等级考试科目中再选择2个等级考试科目组成自己的选考方案，则考生”选择思想政治、生物”和“选择化学、地理”为（　　）

  A．相互独立事件

  B．对立事件

  C．不是互斥事件

  D．互斥事件但不是对立事件
  组卷：265引用：2难度：0.9

  解析

• 5．已知直线x-2y+m=0（m＞0）与直线x+ny-3=0互相平行，且两者之间的距离是

  5

  ，则m+n等于（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  组卷：624引用：7难度：0.8

  解析

• 6．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，D为BB₁的中点，则异面直线C₁D与A₁C所成角的余弦值为（　　）

  A． 15 15

  B． 2 5 7

  C． 10 5

  D． 10 15
  组卷：25引用：4难度：0.7

  解析

• 7．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  a x - 1 ， x ≤ 1

  2 x 2 - ax + a , x ＞ 1

  是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

  A．（1，2）

  B．（1，3]

  C．（2，3]

  D．（1，4]
  组卷：131引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF⊥A₁B₁．
  （1）证明：BF⊥DE；
  （2）当B₁D为何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
  组卷：9898引用：49难度：0.5

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• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo

  g

  a

  x

  +

  1

  x

  -

  1

  （a＞0且a≠1）．
  （Ⅰ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
  （Ⅱ）若a=2，求函数y=f（2^x）的值域；
  （Ⅲ）是否存在实数a,b,使得函数f（x）在区间

  （

  b

  ,

  3

  2

  a

  ）

  上的值域为（1，2），若存在，求a,b的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：346引用：5难度：0.5

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