2011-2012学年江苏省南通中学（南区）高三（上）数学寒假作业（4）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

• 1．已知i是虚数单位，复数

  z

  =

  1

  +

  i

  1

  -

  i

  +

  i

  4

  的共轭复数

  z

  在复平面内对应点落在第

  象限
  组卷：7引用：2难度：0.9

  解析

• 2．已知集合

  M

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  3

  -

  x

  2

  }

  ，

  N

  =

  {

  x

  |

  |

  x

  +

  1

  |

  ≤

  2

  }

  ，且M、N都是全集I的子集，则如图阴影部分表示的集合为

  ．
  
  组卷：21引用：2难度：0.9

  解析

• 3．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=-2010，

  S

  2010

  2010

  -

  S

  2008

  2008

  =

  2

  ，则a₂=

  ；
  组卷：42引用：6难度：0.9

  解析

• 4．已知向量

  m

  ，

  n

  的夹角为

  π

  6

  ，且

  |

  m

  |

  =

  3

  ，

  |

  n

  |

  =

  2

  ，在△ABC中，

  AB

  =

  m

  +

  n

  ，

  AC

  =

  m

  -

  3

  n

  ，D为BC边的中点，则

  |

  AD

  |

  =

  ；
  组卷：34引用：6难度：0.9

  解析

• 5．椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率

  e

  =

  1

  2

  ，右焦点F（c,0），方程ax²+bx-c=0的两个根分别为x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）与圆x²+y²=2的位置关系是

  ．
  组卷：79引用：9难度：0.5

  解析

• 6．函数f（x）=x³+ax在（1，2）处的切线方程为

  ．
  组卷：297引用：7难度：0.7

  解析

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

• 19．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
  （1）①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
  ②若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
  （2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：

  a

  2

  |

  ON

  |

  2

  +

  b

  2

  |

  OM

  |

  2

  为定值．
  组卷：563引用：20难度：0.1

  解析

• 20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点

  （

  n

  ,

  S

  n

  n

  ）

  都在函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  a

  n

  2

  x

  的图象上．
  （Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及数列{a_n}的通项公式a_n；
  （Ⅱ）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
  （Ⅲ）令

  g

  （

  n

  ）

  =

  （

  1

  +

  2

  a

  n

  ）

  n

  （n∈N^*），求证：2≤g（n）＜3．
  组卷：86引用：6难度：0.5

  解析