2022-2023学年上海实验学校高三（上）月考数学试卷（11月份）

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分48分）

• 1．若A={x|

  x

  2

  4

  -y²=1，x∈R，y∈R}，B={y|

  x

  2

  4

  +y²=1，x∈R，y∈R}，则

  A

  ∩B=

  ．
  组卷：16引用：1难度：0.7

  解析

• 2．已知函数f（x）=sinx+cosx+x•e^x，则f'（0）=

  ．
  组卷：154引用：1难度：0.8

  解析

• 3．已知直线l经过点P（1，2），倾斜角α的正弦值为

  4

  5

  ，则l的点斜式方程为

  ．
  组卷：148引用：1难度：0.7

  解析

• 4．已知向量

  a

  =（1，

  3

  ），

  b

  =（3，m）．若向量

  b

  在

  a

  方向上的投影为3，则实数m=

   

  ．
  组卷：461引用：16难度：0.7

  解析

• 5．若复数z同时满足z-

  z

  =2i,

  z

  =iz,则|z|=

  .（i是虚数单位）
  组卷：26引用：1难度：0.7

  解析

• 6．若sinα=

  4

  5

  ，且α是第二象限的角，则cot（

  π

  4

  -

  α

  2

  ）=

   

  ．
  组卷：83引用：3难度：0.5

  解析

• 7．已知f（x）=3x²-e^x，函数f（x）的零点从小到大依次为x_i，i=1、2…，若x_i∈[m,m+1）（m∈Z），请写出所有的m所组成的集合

  ．
  组卷：38引用：1难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分0分）

• 20．设F₁，F₂分别是椭圆D：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂作倾斜角为

  π

  3

  的直线交椭圆D于A，B两点，F₁到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4．
  （Ⅰ）求椭圆D的方程；
  （Ⅱ）已知点M（-1，0），设E是椭圆D上的一点，过E、M两点的直线l交y轴于点C，若

  CE

  =

  λ

  EM

  ，求λ的取值范围；
  （Ⅲ）作直线l₁与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为（-2，0），若点N（0，t）是线段PQ垂直平分线上一点，且满足

  NP

  •

  NQ

  =4，求实数t的值．
  组卷：146引用：8难度：0.3

  解析

• 21．记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x₀∈R，满足f（x₀）=g（x₀）且f′（x₀）=g′（x₀），则称x₀为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．
  （1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x²+2x-2不存在“S点”；
  （2）若函数f（x）=ax²-1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；
  （3）已知函数f（x）=-x²+a,g（x）=

  b

  e

  x

  x

  ．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．
  组卷：2636引用：10难度：0.5

  解析