人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（27）

一、选择题（共1小题）

• 1．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为

  3

  2

  ，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（　　）

  A．16

  B．15

  C．24

  D．13
  组卷：132引用：60难度：0.4

  解析

二、填空题（共2小题）

• 2．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y=

  1

  3

  x²-2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，-4），连接PA，PB．有以下说法：
  ①PO²=PA•PB；
  ②当k＞0时，（PA+AO）（PB-BO）的值随k的增大而增大；
  ③当k=

  -

  3

  3

  时，BP²=BO•BA；
  ④△PAB面积的最小值为

  4

  6

  ．
  其中正确的是

  ．（写出所有正确说法的序号）
  组卷：3847引用：57难度：0.1

  解析

• 3．二次函数y=

  2

  3

  x

  2

  的图象如图，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃…A_n在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃…B_n在二次函数位于第一象限的图象上，点C₁，C₂，C₃…C_n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A₀B₁A₁C₁，四边形A₁B₂A₂C₂，四边形A₂B₃A₃C₃…四边形A_n-1B_nA_nC_n都是菱形，∠A₀B₁A₁=∠A₁B₂A₂=∠A₂B₃A₃…=∠A_n-1B_nA_n=60°，菱形A_n-1B_nA_nC_n的周长为

  ．
  组卷：2792引用：68难度：0.7

  解析

三、解答题（共27小题）

• 4．如图，已知△OAB的顶点A（-6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．
  （1）写出C，D两点的坐标；
  （2）求过A，D，C三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标；
  （3）证明AB⊥BE．
  组卷：511引用：56难度：0.5

  解析

• 5．如图，顶点为A的抛物线y=a（x+2）²-4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD．
  （1）求抛物线的解析式（关系式）；
  （2）求点A，B所在的直线的解析式（关系式）；
  （3）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，四边形ABOP分别为平行四边形？等腰梯形？
  （4）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接PQ．问：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．
  组卷：381引用：53难度：0.5

  解析

• 6．已知：抛物线C₁：y=x²．如图（1），平移抛物线C₁得到抛物线C₂，C₂经过C₁的顶点O和A（2，0），C₂的对称轴分别交C₁、C₂于点B、D．
  （1）求抛物线C₂的解析式；
  （2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；
  （3）如图（2），将抛物线C₂向m个单位下平移（m＞0）得抛物线C₃，C₃的顶点为G，与y轴交于M．点N是M关于x轴的对称点，点P（-

  4

  3

  m,

  1

  3

  m）在直线MG上．问：当m为何值时，在抛物线C₃上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？
  
  组卷：431引用：54难度：0.5

  解析

• 7．抛物线y=-x²平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（-1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D．
  （1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；
  （2）∠ACB和∠ABD是否相等？请证明你的结论；
  （3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．
  组卷：435引用：51难度：0.5

  解析

• 8．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．
  （1）求点B的坐标．
  （2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
  ①若点P在抛物线上，且S_△POC=4S_△BOC，求点P的坐标．
  ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
  组卷：3981引用：91难度：0.3

  解析

• 9．如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．
  （1）求抛物线的函数表达式；
  （2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
  （3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为

  ．
  组卷：693引用：59难度：0.1

  解析

• 10．如图1，抛物线y=-

  2

  3

  x²+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB于点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．
  （1）求该抛物线的函数表达式；
  （2）求点C的坐标和线段EF的长；
  （3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．
  
  组卷：1274引用：51难度：0.5

  解析

三、解答题（共27小题）

• 29．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C₁与经过点A、D、B的抛物线的一部分C₂组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，-

  3

  2

  ），点M是抛物线C₂：y=mx²-2mx-3m（m＜0）的顶点．
  （1）求A、B两点的坐标；
  （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
  （3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
  组卷：2306引用：83难度：0.5

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• 30．如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
  （3）如图2，若点P为平面上一点，点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
  
  组卷：2140引用：68难度：0.5

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