2023年安徽省滁州市定远县育才学校高考数学二模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

• 1．已知集合A={x∈R|1≤x≤3}，B={x∈R|x²≥1}，则A∪（∁_RB）=（　　）

  A．（-1，3]

  B．[-1，3]

  C．（-∞，3）

  D．（-∞，3]
  组卷：93引用：2难度：0.8

  解析

• 2．设

  z

  =

  |

  1

  +

  3

  i

  |

  1

  +

  i

  ，则在复平面内

  z

  对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：69引用：3难度：0.8

  解析

• 3．已知平面向量

  a

  ，

  b

  的夹角为

  3

  π

  4

  ，且

  |

  a

  |

  =

  2

  ，

  |

  b

  |

  =

  3

  ，则

  |

  a

  +

  2

  b

  |

  =（　　）

  A． 3 2

  B． 2 3

  C． 26

  D． 5 2
  组卷：585引用：4难度：0.7

  解析

• 4．鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为（　　）

  A． 96 + 48 2

  B． 120 + 72 2

  C． 144 + 96 2

  D． 168 + 96 2
  组卷：159引用：5难度：0.5

  解析

• 5．2021年起，甘肃省普通高中开始实施新一轮课程改革并使用新版教材，某校数学组从人教A版，人教B版，苏教版，湘教版，北师大版，沪教版这6个版本的数学新教材中选出3个版本进行比较研究，要求人教社两个版本的教材不同时被选择，则选择的方法种数是（　　）

  A．20

  B．18

  C．16

  D．10
  组卷：204引用：2难度：0.7

  解析

• 6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为2，且函数图像过点

  （

  1

  3

  ，

  1

  ）

  ，若f（x）在区间[-2，a]内有4个零点，则a的取值范围为（　　）

  A． [ 11 6 ， 17 6 ）

  B． （ 11 6 ， 17 6 ]

  C． [ 17 6 ， 23 6 ）

  D． （ 17 6 ， 23 6 ]
  组卷：696引用：3难度：0.5

  解析

• 7．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，F分别为BB₁，CD，AB的中点，则三棱锥B-MNF的外接球的体积为（　　）

  A． 5 π

  B． 6 π

  C． 3 π

  D． 2 2 π
  组卷：189引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 21．椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左，右焦点分别为F₁，F₂，且椭圆C过点（-2，0），离心率为

  1

  2

  ．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）若点M（x_o，y₀）是椭圆

  x

  2

  m

  2

  +

  y

  2

  n

  2

  =

  1

  （

  m

  ＞

  n

  ＞

  0

  ）

  上任一点，则该椭圆在点M处的切线方程为

  x

  0

  x

  m

  2

  +

  y

  0

  y

  m

  2

  =

  1

  ．已知N（x₁，y₁）是椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于该切线的直线分别与y轴交于点P、Q．
  （1）求证：PF₁⊥QF₁．
  （2）在椭圆C上是否存在点N，使得△PF₁Q的面积等于1，如果存在，试求出N点坐标，若不存在，请说明理由．
  组卷：102引用：2难度：0.3

  解析

• 22．已知函数f（x）=lnx-

  a

  （

  x

  +

  1

  ）

  x

  -

  1

  ．
  （1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
  （2）若f（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求a的范围，并证明

  1

  ln

  x

  1

  +

  a

  +

  1

  ln

  x

  2

  +

  a

  ＜0．
  组卷：196引用：6难度：0.3

  解析