2023-2024学年广东省广州113中学高二（上）期中数学试卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

• 1．已知向量

  a

  =（-2，-3，1），

  b

  =（2，0，4），

  c

  =（-4，-6，2），则下列结论正确的是（　　）

  A． a ⊥ c ， b ⊥ c

  B． a ∥ b ， a ⊥ c

  C． a ∥ c ， a ⊥ b

  D．以上都不对
  组卷：174引用：9难度：0.8

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• 2．已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y-3=0垂直，则sinθ=（　　）

  A． - 5 5

  B． 5 5

  C． - 2 5 5

  D． 2 5 5
  组卷：481引用：3难度：0.7

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• 3．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2且∠A₁AD=∠A₁AB=60°，则AC₁=（　　）

  A． 2 2

  B． 10

  C． 2 3

  D． 14
  组卷：238引用：19难度：0.7

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• 4．已知F₁（-8，3），F₂（2，3），动点P满足|PF₁|-|PF₂|=10，则P点轨迹是（　　）

  A．双曲线

  B．双曲线一支

  C．直线

  D．一条射线
  组卷：83引用：2难度：0.7

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• 5．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（　　）

  A． x 2 4 + y 2 3 = 1

  B． x 2 4 + y 2 = 1

  C． x 2 2 + y 2 = 1

  D． x 2 + y 2 4 = 1
  组卷：304引用：2难度：0.7

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• 6．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点F₁，F₂在x轴上，中心在原点，点A的坐标为

  （

  2

  ，

  2

  3

  ）

  ，P为双曲线右支上一动点，则|PF₁|+|PA|的最小值为（　　）

  A． 2 2 + 2

  B． 2 2 + 4

  C． 4 2 + 2

  D． 4 2 + 4
  组卷：135引用：4难度：0.6

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• 7．点P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧面DCC₁D₁内的一个动点，若△APD与△BCP的面积之比等于2，则点P的轨迹是（　　）

  A．圆的一部分	B．椭圆的一部分
  C．双曲线的一部分	D．抛物线的一部分
  组卷：80引用：3难度：0.6

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四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

• 21．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x+4y-8=0相切．
  （1）求圆C的标准方程；
  （2）直线l：y=kx+2与圆C交于A，B两点．
  ①求k的取值范围；
  ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
  组卷：599引用：15难度：0.5

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• 22．已知椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左焦点为F（-1，0），左、右顶点及上顶点分别记为A、B、C，且

  CF

  •

  CB

  =1．
  （1）求椭圆E的方程；
  （2）若直线l：y=kx-2与椭圆E交于M、N两点，求△OMN面积的最大值，以及取得最大值时直线l的方程．
  组卷：142引用：1难度：0.6

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