2023-2024学年天津市河西区新华中学高三（上）第一次月考数学试卷

一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合A={x∈Z|-2＜x＜4}，B={x|x²+2x-3＜0}，则A∩B=（　　）

  A．（-2，1）

  B．（-1，3）

  C．{0，1，2}

  D．{-1，0}
  组卷：17引用：2难度：0.9

  解析

• 2．设a,b∈R，则“a＜b”是“（a-b）a²＜0”的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：475引用：18难度：0.9

  解析

• 3．已知函数y=f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能为（　　）

  A． 5 e x - 5 e - x x 2 + 2	B． 5 sinx x 2 + 1
  C． 5 e x + 5 e - x x 2 + 2	D． 5 cosx x 2 + 1
  组卷：104引用：5难度：0.8

  解析

• 4．已知a=log₅2，b=log_0.50.2，c=0.5^0.2，则a,b,c的大小关系为（　　）

  A．a＜c＜b

  B．a＜b＜c

  C．b＜c＜a

  D．c＜a＜b
  组卷：7114引用：55难度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,若c²=（a-b）²+6，C=

  π

  3

  ，则△ABC的面积是（　　）

  A． 3 3 2

  B． 9 3 2

  C． 3

  D．3 3
  组卷：513引用：17难度：0.7

  解析

• 6．已知α∈（0，π），sinα+cosα=

  3

  3

  ，则cos2α=（　　）

  A．± 5 3

  B． 5 3

  C．- 5 3

  D．± 5 9
  组卷：720引用：5难度：0.9

  解析

三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

• 19．已知函数f（x）=

  x

  ，g（x）=alnx,a∈R，
  （Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；
  （Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
  （Ⅲ）对（Ⅱ）中的φ（a），证明：当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．
  组卷：679引用：10难度：0.5

  解析

• 20．已知函数f（x）=2lnx-ax²+2x-1，g（x）=f（x）-2ax+3（a≤R）．
  （Ⅰ）若f（1）=-1，求函数y=f（x）的极值；
  （Ⅱ）若关于x的不等式g（x）≤0恒成立，求整数a的最小值；
  （Ⅲ）当0＜a＜1时，函数g（x）恰有两个不同的零点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：x₁+x₂＞

  2

  a

  ．
  组卷：161引用：6难度：0.5

  解析