2010年新课标九年级数学竞赛培训第10讲：抛物线

一、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）

• 1．二次函数y=x²+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时，对应x的取值范围是

   

  ．
  组卷：1058引用：7难度：0.7

  解析

• 2．抛物线y=ax²与直线x=1，x=2，y=1，y=2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是

   

  ．
  组卷：472引用：14难度：0.7

  解析

• 3．抛物线y=x²+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值为

   

  ．
  组卷：217引用：8难度：0.7

  解析

• 4．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，

  3

  2

  ），则：
  （1）抛物线对应的函数解析式为

   

  ；
  （2）若点P为此抛物线上位于x轴上方的一个动点，则△ABP面积的最大值为

   

  ．
  组卷：134引用：2难度：0.5

  解析

• 5．已知：二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①

  4

  ac

  -

  b

  2

  4

  a

  =-1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a-b+c＞0．正确的序号是

  ．
  组卷：483引用：6难度：0.6

  解析

• 6．抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=

   

  ．
  组卷：801引用：12难度：0.9

  解析

• 7．已知直线y=-2x+3与抛物线y=x²相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于

  ．
  组卷：241引用：6难度：0.5

  解析

• 8．已知二次函数y=ax²+bx+c,一次函数y=k（x-1）-

  k

  2

  4

  ，若它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为

   

  ．
  组卷：455引用：5难度：0.7

  解析

二、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

• 9．已知：抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b²-2ac＞5a²，其中正确的个数有（　　）

  A．1个

  B．2个

  C．3个

  D．4个
  组卷：2989引用：17难度：0.5

  解析

三、解答题（共11小题，满分78分）

• 26．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，-

  3

  ），且在x轴上截得的线段AB的长为6．
  （1）求二次函数的解析式；
  （2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；
  （3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
  组卷：176引用：6难度：0.1

  解析

• 27．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax²+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax²+2x+3的顶点的横坐标减少

  1

  a

  ，纵坐标增加

  1

  a

  ，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加

  1

  a

  ，纵坐标增加

  1

  a

  ，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax²+2x+3上．
  （1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3的顶点所在直线的解析式；
  （2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；
  （3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般-一特殊-一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．
  组卷：193引用：4难度：0.1

  解析