2023-2024学年上海市杨浦区同济大学一附中高三（上）期中数学试卷

一、填空题（1-6题每小题4分，7-12每小题4分，满分54分）

• 1．关于x的不等式

  x

  -

  3

  x

  ≥

  0

  的解集是

  ．
  组卷：29引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知函数f（x）=tan2x,则函数f（x）的最小正周期是

  ．
  组卷：45引用：2难度：0.9

  解析

• 3．二项式

  （

  x

  -

  2

  x

  ）

  6

  的展开式中，常数项为

  ．
  组卷：42引用：3难度：0.6

  解析

• 4．双曲线

  y

  2

  3

  -

  x

  2

  =

  1

  两条渐近线的夹角大小是

  ．
  组卷：111引用：2难度：0.8

  解析

• 5．已知角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点

  P

  （

  -

  3

  5

  ，

  4

  5

  ）

  ．则cos2α=

  ．
  组卷：196引用：9难度：0.7

  解析

• 6．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平行平面A₁BD与CD₁B₁间的距离为

  ．
  组卷：17引用：1难度：0.6

  解析

• 7．设

  m

  ，

  n

  是两个单位向量，向量

  a

  =

  m

  -

  2

  n

  ，且

  |

  a

  |

  =

  5

  ，则

  m

  •

  n

  =

  ．
  组卷：42引用：2难度：0.8

  解析

三、解答题（满分78分）

• 20．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）经过A（1，0），B（0，b）两点．O为坐标原点，且△AOB的面积为

  2

  4

  ，过点P（0，1）且斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N．且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）若以MN为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程；
  （3）设

  PS

  =

  λ

  PO

  ，

  PT

  =

  μ

  PO

  ，求λ+μ的取值范围．
  组卷：127引用：2难度：0.5

  解析

• 21．已知函数f（x）=lnx-ax,g（x）=（a+1）x²-1，（a∈R）．
  （1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
  （2）令当h（x）=2f（x）-g（x），若函数h（x）有两个零点x₁，x₂，求实数a的取值范围；
  （3）在（2）的条件下，证明：

  x

  1

  +

  x

  2

  ＞

  2

  a

  +

  1

  ．
  组卷：163引用：2难度：0.5

  解析