2023年山东省青岛市高考数学二模试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合A={x|x²+2x-8＜0}，B={x|x=2n-1，n∈Z}，则A∩B=（　　）

  A．{-3，-1，1}

  B．{-1，1，3}

  C．（-4，2）

  D．（-2，4）
  组卷：97引用：2难度：0.9

  解析

• 2．已知O为坐标原点，复数z₁=1+i,z₂=2-i,z₃=1+mi（m∈R）分别表示向量

  OA

  ，

  OB

  ，

  OC

  ，若

  AB

  ⊥

  OC

  ，则|z₃|=（　　）

  A． 2

  B． 3

  C． 5 2

  D． 7 2
  组卷：87引用：2难度：0.7

  解析

• 3．已知函数f（x）=x,g（x）=2^x+2^-x，则大致图象如图的函数可能是（　　）

  A．f（x）+g（x）

  B．f（x）-g（x）

  C．f（x）g（x）

  D． f （ x ） g （ x ）
  组卷：325引用：6难度：0.7

  解析

• 4．某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有（　　）

  A．300种

  B．210种

  C．180种

  D．150种
  组卷：208引用：3难度：0.7

  解析

• 5．在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC如图所示，则tanA=（　　）

  A． 7 4

  B．1

  C． 5 3

  D． 5 2
  组卷：97引用：5难度：0.7

  解析

• 6．已知O为坐标原点，直线l过抛物线D：y²=2px（p＞0）的焦点F，与D及其准线依次交于A，B，C三点（其中点B在A，C之间），若|AF|=4，|BC|=2|BF|．则△OAB的面积是（　　）

  A． 3

  B． 4 3 3

  C． 2 3

  D． 8 3 3
  组卷：149引用：3难度：0.4

  解析

• 7．三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据．三面角P-ABC是由有公共端点P且不共面的三条射线PA，PB，PC以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，平面APC与平面BPC所成的角为θ，由三面角余弦定理得

  cosθ

  =

  cosγ

  -

  cosα

  •

  cosβ

  sinα

  •

  sinβ

  ．在三棱锥P-ABC中，PA=6，∠APC=60°，∠BPC=45°，∠APB=90°，PB+PC=6，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（　　）

  A． 27 2 4

  B． 27 4

  C． 9 2

  D． 9 4
  组卷：183引用：3难度：0.4

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

• 21．已知O为坐标原点，双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率等于

  6

  2

  ，点P是双曲线C在第一象限上的点，直线PF₁与y轴的交点为Q，△PQF₂的周长等于6a,

  |

  P

  F

  1

  |

  2

  -

  |

  P

  F

  2

  |

  2

  =

  24

  ．
  （1）求C的方程；
  （2）过圆O：x²+y²=1上一点W（W不在坐标轴上）作C的两条切线，对应的切点为A，B．证明：直线AB与椭圆

  D

  ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  =

  1

  相切于点T，且|WT|•|AB|=|WA|•|WB|．
  组卷：95引用：1难度：0.4

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  -

  a

  （

  x

  -

  1

  x

  ）

  ，a＞0．
  （1）讨论f（x）极值点的个数；
  （2）若f（x）恰有三个零点t₁，t₂，t₃（t₁＜t₂＜t₃）和两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
  （ⅰ）证明：f（x₁）+f（x₂）=0；
  （ⅱ）若m＜n,且mlnm=nlnn,证明：

  （

  1

  -

  m

  ）

  e

  -

  m

  t

  1

  t

  2

  t

  3

  ＞

  n

  （

  lnn

  +

  1

  ）

  ．
  组卷：275引用：7难度：0.6

  解析