2022-2023学年辽宁省大连市高三（下）第一次模拟数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

• 1．已知a∈R，i为虚数单位，若

  a

  -

  i

  3

  +

  i

  为实数，则a=（　　）

  A．-3

  B． 1 3

  C．3

  D． - 1 3
  组卷：271引用：13难度：0.9

  解析

• 2．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合，若A={x|x=2n+1，n∈N，n≤4}，B={2，3，4，5，6，7}，则A⊗B=（　　）

  A．{1，2，4，6}	B．{2，4，6，9}
  C．{2，3，4，5，6，7}	D．{1，2，4，6，9}
  组卷：131引用：4难度：0.7

  解析

• 3．已知随机变量X～N（2，σ²），且P（X≤4）=0.84，则P（0＜X≤4）=（　　）

  A．0.84

  B．0.68

  C．0.34

  D．0.16
  组卷：438引用：8难度：0.7

  解析

• 4．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线A₁D与D₁C所成的角为（　　）

  A． π 6

  B． π 4

  C． π 3

  D． π 2
  组卷：665引用：13难度：0.7

  解析

• 5．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲得到4本的概率是（　　）

  A． 1 18

  B． 1 20

  C． 1 30

  D． 1 60
  组卷：148引用：3难度：0.6

  解析

• 6．牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数f（x）在x₀附近一点的函数值可用f（x）≈f（x₀）+f'（x₀）（x-x₀）代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程x³-3x+1=0，选取初始值x₀=

  1

  2

  ，在下面四个选项中最佳近似解为（　　）

  A．0.333

  B．0.335

  C．0.345

  D．0.347
  组卷：127引用：3难度：0.6

  解析

• 7．已知对于每一对正实数x,y,函数f（x）满足：f（x）+f（y）=f（x+y）-xy-1，若f（1）=1，则满足f（n）=n（n∈N^*）的n的个数是（　　）

  A．1个

  B．2个

  C．3个

  D．4个
  组卷：206引用：6难度：0.6

  解析

四．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知双曲线C={（x,y）|ax²-by²=1（a＞0，b＞0）}和集合Q={（x,y）|0＜ax²-by²＜1（a＞0，b＞0）}，直角坐标平面内任意点N（x₀，y₀），直线l：ax₀x-by₀y=1称为点N关于双曲线C的“相关直线”．
  （I）若N∈C，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；
  （II）若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：N∈Q；
  （Ⅲ）若点N∈Q，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B，求证：

  |

  MA

  |

  |

  AN

  |

  =

  |

  MB

  |

  |

  BN

  |

  ．
  组卷：86引用：2难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=2ae^-x-sinx+1，f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=0．
  （Ⅰ）求a的值，并证明函数f（x）在x=0处取得极值；
  （Ⅱ）证明：f（x）在区间

  [

  2

  kπ

  ，

  2

  kπ

  +

  π

  2

  ]

  （

  k

  ∈

  N

  ）

  有唯一零点．
  组卷：71引用：1难度：0.2

  解析