2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．设集合A={x|x²+x-2＜0，x∈R}，B={x||x-1|＜1}，则A∪B=（　　）

  A．{x|-1＜x＜2}

  B．{x|0＜x＜1}

  C．{x|-2＜x＜2}

  D．{x|0＜x＜2}
  组卷：61引用：3难度：0.7

  解析

• 2．“m=-2”是“直线l₁：mx+4y+2=0与直线l₂：x+my+1=0平行”的（　　）

  A．充要条件	B．必要不充分条件
  C．充分不必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：299引用：5难度：0.7

  解析

• 3．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[0，50）、[50，100）、[100，150）、[150，200）、[200，300）和[300，500]六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（　　）

  A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”

  B．从2日到5日空气质量越来越好

  C．这14天中空气质量指数的中位数是214

  D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
  组卷：347引用：11难度：0.8

  解析

• 4．在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A，B，圆C经过A，B，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（　　）

  A．x2+y2+6y-16=0	B．x2+y2-6y-16=0
  C．x2+y2+8y-9=0	D．x2+y2-8y-9=0
  组卷：331引用：5难度：0.6

  解析

• 5．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（　　）

  A． x 2 20 - y 2 5 = 1	B． x 2 5 - y 2 20 = 1
  C． x 2 80 - y 2 20 = 1	D． x 2 20 - y 2 80 = 1
  组卷：1892引用：72难度：0.9

  解析

• 6．抛物线y²=2px（p＞0）焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，△MFO的面积为4

  3

  ，则抛物线方程为（　　）

  A．y2=6x

  B．y2=8x

  C．y2=16x

  D． y 2 = 15 2 x
  组卷：542引用：5难度：0.7

  解析

• 7．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．给出以下四个结论：①f（0）=0；②f（x）可能是偶函数；③f（x）在[m,n]上一定存在最大值f（n）；④f（x-1）＞0的解集为{x|x＜1}．共中正确的结论的个数为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：64引用：3难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知双曲线E的左、右焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），点（2，

  3

  3

  ）在双曲线E上．
  （1）求E的方程；
  （2）过F₂作两条相互垂直的直线l₁和l₂，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
  组卷：232引用：5难度：0.5

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• 22．如图，设P是x²+y²=8上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M点满足

  MD

  =

  λ

  PD

  （λ≠0）．
  （1）当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
  （2）若

  λ

  =

  1

  2

  ，设点A（2，1），A关于原点的对称点为B，直线l过点（1，

  -

  1

  2

  ）且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为k₁，直线BN的斜率为k₂．
  （i）求证：

  k

  1

  k

  2

  为定值；
  （ii）求证：存在两条定直线l₁、l₂，使得点T到直线l₁、l₂的距离之积为定值．
  组卷：140引用：4难度：0.4

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