2023-2024学年江西省九江一中高二（上）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

• 1．若z（1-3i）=2-i,则

  z

  =（　　）

  A． 1 2 + 1 2 i

  B． 1 2 - 1 2 i

  C．1+i

  D．1-i
  组卷：86引用：9难度：0.8

  解析

• 2．若平面α的一个法向量为

  u

  1

  =

  （

  -

  3

  ，

  y

  ,

  2

  ）

  ，平面β的一个法向量为

  u

  2

  =

  （

  6

  ，-

  2

  ，

  z

  ）

  ，且α∥β，则y+z的值是（　　）

  A．-3

  B．-4

  C．3

  D．4
  组卷：77引用：9难度：0.8

  解析

• 3．已知双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为2，则渐近线方程是（　　）

  A． y =± 1 2 x

  B．y=±2x

  C． y =± 3 x

  D． y =± 3 3 x
  组卷：205引用：4难度：0.7

  解析

• 4．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P，Q分别为DD₁，AD，C₁D₁，C₁C的中点，则异面直线MN与PQ所成的角大小等于（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．90°
  组卷：212引用：5难度：0.4

  解析

• 5．圆x²-4x+y²-2y=0的圆心在抛物线x²=2py上，则该抛物线的焦点坐标为（　　）

  A．（2，0）

  B．（0，1）

  C．（0，2）

  D．（1，0）
  组卷：76引用：2难度：0.7

  解析

• 6．设α，β，γ是互不重合的平面，m,n是互不重合的直线，给出四个命题：
  ①若m∥α，n⊥α，则m⊥n
  ②若m∥n,n∥α，则m∥α
  ③若m∥α，n∥α，则m∥n
  ④若m⊥r,n⊥y,则m∥n
  其中正确命题的个数是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：32引用：5难度：0.7

  解析

• 7．椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，若F₂与抛物线y²=8x的焦点重合，椭圆E与过点P（9，3）的幂函数y=x^α的图像交于点Q，且幂函数在点Q处的切线过点F₁，则椭圆的离心率为（　　）

  A． 1 2

  B． 2 2

  C． 3 2

  D． 3 - 1
  组卷：26引用：2难度：0.5

  解析

五、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知△ABC是等边三角形，点M，N满足

  AB

  =

  3

  AM

  ，

  CA

  =

  3

  CN

  ，将△AMN沿MN折起到△A'MN的位置，使∠A'MB=90°．
  （1）求证：A'M⊥平面MBCN；
  （2）在线段BC上是否存在点D，使平面A'ND与平面A'MB夹角的余弦值为

  39

  13

  ？若存在，求

  |

  BD

  |

  |

  DC

  |

  的值；若不存在，说明理由．
  组卷：40引用：1难度：0.4

  解析

• 22．已知T为圆M：

  （

  x

  +

  2

  ）

  2

  +

  y

  2

  =

  16

  上任一点，

  N

  （

  2

  ，

  0

  ）

  ，

  MQ

  =

  λ

  MT

  ，λ∈[0，1]，且满足

  （

  QT

  +

  QN

  ）

  •

  TN

  =

  0

  ．
  （1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
  （2）过点P（0，1）的直线与轨迹Γ相交于A，B两点，是否存在与点P不同的定点R，使

  |

  RA

  |

  |

  RB

  |

  =

  |

  PA

  |

  |

  PB

  |

  恒成立？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：35引用：2难度：0.4

  解析