2023-2024学年天津一中高二（上）期中数学试卷

一.选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．设直线l的斜率为k,且-1≤k＜

  3

  ，求直线l的倾斜角α的取值范围（　　）

  A． [ 0 ， π 3 ） ∪ （ 3 π 4 ， π ）	B． [ 0 ， π 6 ） ∪ （ 3 π 4 ， π ）
  C． （ π 6 ， 3 π 4 ）	D． [ 0 ， π 3 ） ∪ [ 3 π 4 ， π ）
  组卷：483引用：21难度：0.8

  解析

• 2．设点A（4，-3），B（-2，-2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（　　）

  A．k≥1或k≤-4

  B．k≥1或 k ≤ - 4 3

  C．-4≤k≤1

  D． - 4 3 ≤ k ≤ - 1
  组卷：405引用：12难度：0.6

  解析

• 3．“a²=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：70引用：9难度：0.9

  解析

• 4．已知圆C：x²+y²-2x-3=0，若直线l：ax-y+1-a=0与圆C相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）

  A．2 2

  B．2 3

  C．3

  D． 5 2
  组卷：182引用：4难度：0.7

  解析

• 5．某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F₁，F₂分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F₂的一条弦，且△PQF₁的周长为3|F₁F₂|．若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为（　　）

  A． 2 10 3 米

  B． 6 5 5 米

  C． 8 3 米

  D． 12 5 米
  组卷：170引用：5难度：0.6

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• 6．已知双曲线C的焦点与椭圆E：

  y

  2

  16

  +

  x

  2

  7

  =

  1

  的上、下顶点相同，且经过E的焦点，则C的方程为（　　）

  A． x 2 9 - y 2 7 = 1

  B． y 2 9 - x 2 16 = 1

  C． y 2 9 - x 2 7 = 1

  D． x 2 9 - y 2 16 = 1
  组卷：206引用：5难度：0.5

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三.解答题：（本大题共4小题共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

• 19．给定椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，称圆心在原点O、半径是

  a

  2

  +

  b

  2

  的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为

  F

  （

  2

  ，

  0

  ）

  ，其短轴的一个端点到点F的距离为

  3

  ．
  （1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
  （2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求

  AB

  •

  AD

  的取值范围．
  组卷：83引用：5难度：0.5

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• 20．在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左焦点，直线x=-

  a

  2

  c

  与x轴交于点P，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且

  PM

  =2

  MF

  ．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为k₁，k₂．
  ①求证：k₁+k₂为定值；
  ②求△ABF面积的最大值．
  组卷：782引用：8难度：0.1

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