2010年竞赛辅导：整数的有关问题

一、填空题（共62小题，每小题5分，满分310分）

• 1．一个小数的小数点分别向右、向左移动一位后，得到的两个数的差是23.76，则原小数是

   

  ．
  组卷：53引用：1难度：0.9

  解析

• 2．如果三位数

  a

  1

  a

  2

  a

  3

  满足a₁＞a₂及a₃＞a₂，那么这个三位数称为“凹数”，则所有三位“凹数”的总个数是

  ．
  组卷：102引用：1难度：0.7

  解析

• 3．一个三位数的各位数字互不相同，把它的各位上的数字任意交换位置，又可得到五个三位数，若这六个三位数的和等于2220，那么在所有满足条件的三位数中，最小的三位数是

  ．
  组卷：82引用：1难度：0.9

  解析

• 4．已知x为正整数，y和z均为素数，且满足x=yz,

  1

  x

  +

  1

  y

  =

  1

  z

  ，则x的值是

  ．
  组卷：91引用：2难度：0.7

  解析

• 5．已知质数p,q满足关系式3p+5q=31，则

  p

  3

  q

  -

  1

  =

  ．
  组卷：104引用：1难度：0.9

  解析

• 6．120的所有是合数但不是奇数的正约数的和等于

  ．
  组卷：53引用：3难度：0.5

  解析

• 7．两位数的质数中，两个数字和最大的值为

  ．
  组卷：41引用：2难度：0.7

  解析

• 8．在1，2，3…，20这20个数中，质数与合数之和等于

  ．
  组卷：40引用：1难度：0.9

  解析

• 9．3个质数p、q、r满足p+q=r且p＜q＜r,则p=

   

  ．
  组卷：63引用：1难度：0.9

  解析

• 10．一个质数的平方与一个正奇数的和等于125，则这两个数的乘积是

   

  ．
  组卷：47引用：1难度：0.9

  解析

• 11．有5个连续的正奇数，它们的乘积为135135，那么这5个数中最小的数是

   

  ．
  组卷：42引用：1难度：0.9

  解析

• 12．210的正偶约数的个数是

   

  ．
  组卷：37引用：1难度：0.7

  解析

• 13．若p为质数，p³+5仍为质数，则p⁵-7=

   

  ．
  组卷：58引用：1难度：0.9

  解析

• 14．99个连续自然数之和等于abcd,若a、b、c、d皆为质数，则a+b+c+d的最小值等于

   

  ．
  组卷：116引用：3难度：0.9

  解析

• 15．三个质数的和为140，则这三个质数的乘积的最大值是

   

  ．
  组卷：54引用：1难度：0.9

  解析

• 16．自然数n的正约数共有10个，则n的最小值是

   

  ．
  组卷：203引用：2难度：0.7

  解析

• 17．设x₁、x₂、x₃均为质数，且x₁+x₂+x₃=68，x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=1121，则x₁x₂x₃=

   

  ．
  组卷：68引用：1难度：0.9

  解析

• 18．（1994¹⁹⁹⁴+1994¹⁹⁹⁵，1994×1995）=

   

  ．
  组卷：46引用：1难度：0.9

  解析

• 19．两个两位数的最大公约数是8，最小公倍数是96，则这两数的和是

   

  ．
  组卷：41引用：1难度：0.7

  解析

• 20．有若干个苹果，2个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，则这堆苹果最少有

   

  个．
  组卷：259引用：2难度：0.1

  解析

• 21．已知两个自然数的乘积是8214，它们的最大公约数是37，求这两个自然数

  ．
  组卷：60引用：1难度：0.5

  解析

• 22．在一根长木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍十等分，第二种刻度线将木棍十二等分，第三种刻度线将木棍十五等分，则若沿每条刻度线将木棍锯断，总共可锯成

   

  段．
  组卷：45引用：1难度：0.7

  解析

• 23．四根铅丝，长度各为1008cm,1260cm,882cm,1134cm,现在要求把它们截成相等的小段，每根铅丝都不允许剩下，且截成的小段要最长，则每小段长为

  cm,总共可以截成

  段．
  组卷：49引用：1难度：0.7

  解析

• 24．小明的储蓄筒里存有二分和五分的硬币．他把这些硬币倒了出来，估计有五六元钱，小明把这些硬币分成两堆，这两堆的钱数相等，而且第一堆里二分和五分的硬币个数相等，第二堆里二分币的总钱数与五分币的总钱数相等，则小明共存了

   

  元．
  组卷：42引用：1难度：0.5

  解析

• 25．若按奇偶数分类，则2¹⁹⁹⁰+3¹⁹⁹⁰+7¹⁹⁹⁰+9¹⁹⁹⁰是

   

  数．
  组卷：78引用：1难度：0.7

  解析

• 26．若质数m、n满足5m+7n=129，则m+n=

  ．
  组卷：189引用：6难度：0.7

  解析

• 27．一个正整数若加上100是某正整数的平方，加上168则是另一个正整数的平方，则此数是

   

  ．
  组卷：52引用：1难度：0.7

  解析

• 28．两个自然数的和与差的乘积是1996，则这两数的和是

   

  ．
  组卷：71引用：1难度：0.7

  解析

• 29．设a、b为整数，若5b+a是偶数，则a-3b是

   

  数，若5b+a是奇数呢？
  组卷：78引用：1难度：0.5

  解析

• 30．在表中，有15个数，选出6个数，使它们之和等于30，可能吗？

   

  （填“能”或“不能”）．

  1	3	5	7	9
  1	3	5	7	9
  1	3	5	7	9
  组卷：63引用：1难度：0.7

  解析

• 31．已知p、q均为质数且p=m+n,q=mn（m、n为正整数），则

  p

  p

  +

  q

  q

  m

  m

  +

  n

  n

  =

  ．
  组卷：58引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（共24小题，满分0分）

• 93．从小到大排列着的10个自然数1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和是11的倍数的数有多少组？请说明理由．
  组卷：40引用：1难度：0.5

  解析

• 94．设a,b都是整数，求证：a,b,a+b,a-b这4个数中至少有一个能被3整除．
  组卷：72引用：1难度：0.3

  解析