湘教新版九年级（下）中考题单元试卷：第1章 二次函数（19）

一、填空题（共1小题）

• 1．如图，已知直线y=-

  3

  4

  x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=-

  1

  2

  x²+2x+5上的一个动点，其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=-

  3

  4

  x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是

  ．
  组卷：3775引用：73难度：0.5

  解析

二、解答题（共29小题）

• 2．已知二次函数y=ax²的图象经过点（2，1）．
  （1）求二次函数y=ax²的解析式；
  （2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax²的图象交于点A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂）两点．
  ①当m=

  3

  2

  时（图①），求证：△AOB为直角三角形；
  ②试判断当m≠

  3

  2

  时（图②），△AOB的形状，并证明；
  （3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）
  
  组卷：1531引用：51难度：0.5

  解析

• 3．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=a（x-2）²+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，
  （1）求a,k的值；
  （2）在图中求一点Q，A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q的坐标；
  （3）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由；
  （4）抛物线的对称轴是上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．
  组卷：3024引用：52难度：0.5

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• 4．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．
  （1）填空：点C的坐标为（

   

  ，

   

  ），点D的坐标为（

   

  ，

   

  ）；
  （2）设点P的坐标为（a,0），当|PD-PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；
  （3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？
  
  组卷：1926引用：54难度：0.5

  解析

• 5．如图，抛物线y=ax²+bx-

  5

  3

  经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．
  （1）求此抛物线的解析式；
  （2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；
  （3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：1584引用：53难度：0.5

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• 6．如图，已知图①中抛物线y=ax²+bx+c经过点D（-1，0），C（0，-1），E（1，0）．
  
  （1）求图①中抛物线的函数表达式．
  （2）将图①中的抛物线向上平移一个单位，得到图②中的抛物线，点D与点D₁是平移前后的对应点，求该抛物线的函数表达式．
  （3）将图②中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后得到图③中的抛物线，所得到抛物线表达式为y²=2px,点D₁与D₂是旋转前后的对应点，求图③中抛物线的函数表达式．
  （4）将图③中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后与直线y=-x-1相交于A、B两点，D₂与D₃是旋转前后如图④，求线段AB的长．
  组卷：866引用：50难度：0.5

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• 7．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
  （3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：4451引用：61难度：0.5

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• 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=-x²+2x+3经过点A、C、A′三点．
  （1）求A、A′、C三点的坐标；
  （2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；
  （3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．
  组卷：1341引用：51难度：0.5

  解析

• 9．如图，已知点O（0，0），A（-5，0），B（2，1），抛物线l：y=-（x-h）²+1（h为常数）与y轴的交点为C．
  （1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
  （2）设点C的纵坐标为y_c，求y_c的最大值，此时l上有两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥0，比较y₁与y₂的大小；
  （3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．
  组卷：3589引用：55难度：0.5

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• 10．已知：抛物线l₁：y=-x²+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为直线x=1，抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，-

  5

  2

  ）．
  （1）求抛物线l₂的函数表达式；
  （2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
  （3）M为抛物线l₂上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l₁于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
  
  组卷：4086引用：59难度：0.5

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二、解答题（共29小题）

• 29．如图，在平面直角坐标系中．顶点为（-4，-1）的抛物线交y轴于点A（0，3），交x轴于B，C两点．
  （1）求此抛物线的解析式；
  （2）已知点P是抛物线上位于B，C两点之间的一个动点，问：当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时四边形ABPC的面积．
  （3）过点B作AB的垂线交抛物线于点D，是否存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．
  组卷：1403引用：51难度：0.3

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• 30．抛物线y=x²+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．
  （1）求抛物线与x轴的交点坐标；
  （2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
  （3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？
  组卷：1819引用：50难度：0.3

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