2020-2021学年湖南师大附中高一（下）入学数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合A={x|x²-2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）

  A．{0}

  B．{0，1}

  C．{0，2}

  D．{0，1，2}
  组卷：1557引用：75难度：0.9

  解析

• 2．设

  a

  =

  （

  2

  5

  ）

  3

  5

  ，

  b

  =

  （

  2

  5

  ）

  2

  5

  ，

  c

  =

  （

  3

  5

  ）

  2

  5

  ，则a,b,c的大小关系是（　　）

  A．a＞b＞c

  B．c＞a＞b

  C．a＜b＜c

  D．a＜c＜b
  组卷：418引用：10难度：0.9

  解析

• 3．函数f（x）=

  x

  1

  2

  -（

  1

  2

  ）^x的零点个数为（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：1683引用：52难度：0.9

  解析

• 4．已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），且f（4）=3，则f（2021）的值为（　　）

  A．-1

  B．1

  C．3

  D．-3
  组卷：40引用：1难度：0.8

  解析

• 5．关于x的方程x²+ax+b=0，有下列四个命题：
  甲：x=1是该方程的根；
  乙：x=3是该方程的根；
  丙：该方程两根之和为2；
  丁：该方程两根异号．
  如果只有一个假命题，则该命题是（　　）

  A．甲

  B．乙

  C．丙

  D．丁
  组卷：426引用：18难度：0.7

  解析

• 6．若实数a,b满足

  1

  a

  +

  2

  b

  =

  ab

  ，则ab的最小值为（　　）

  A． 2

  B．2

  C．2 2

  D．4
  组卷：10568引用：77难度：0.9

  解析

• 7．若函数f（x）=|x|（x-b）在[0，2]上是减函数，则实数b的取值范围是（　　）

  A．（-∞，4]

  B．（-∞，2]

  C．[2，+∞）

  D．[4，+∞）
  组卷：41引用：7难度：0.9

  解析

四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

• 21．已知函数f（x）=10

  3

  sin

  x

  2

  cos

  x

  2

  +10cos²

  x

  2

  ．
  （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
  （Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移

  π

  6

  个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的 最大值为2．
  （ⅰ）求函数g（x）的解析式；
  （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x₀，使得g（x₀）＞0．
  组卷：2560引用：14难度：0.3

  解析

• 22．已知f（x）=ax²+bx+2，x∈R
  （1）若b=1，且3∉{y|y=f（x），x∈R}，求a的取值范围
  （2）若a=1，且方程f（x）+|x²-1|=2在（0，2）上有两个解x₁，x₂，求b的取值范围，并证明2

  ＜

  1

  x

  1

  +

  1

  x

  2

  ＜

  4

  ．
  组卷：458引用：2难度：0.1

  解析