2022-2023学年上海市黄浦区大同中学高二（上）期中数学试卷

一、填空题。（共12题，每题3分）

• 1．一个球的半径为3，则它的体积是

  ．
  组卷：213引用：7难度：0.8

  解析

• 2．已知等差数列{a_n}中，a₃=7，a₇=3，则数列{a_n}的通项公式是

  ．
  组卷：342引用：5难度：0.9

  解析

• 3．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的

  ．
  组卷：316引用：5难度：0.9

  解析

• 4．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BC₁与平面AA₁B所成角的大小为

  ．
  组卷：78引用：2难度：0.9

  解析

• 5．已知数列{a_n}的通项公式

  a

  n

  =

  1

  n

  （

  n

  +

  1

  ）

  ，则前n项和S_n=

  ．
  组卷：147引用：9难度：0.9

  解析

• 6．在水平放置的平面上，有一个边长为4cm的正方形，其直观图的面积是

  cm²．
  组卷：67引用：4难度：0.8

  解析

• 7．正四棱台的上、下底面分别为边长为1和2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的侧面积为

  ．
  组卷：121引用：3难度：0.7

  解析

三、解答题。（共5题，共48分）

• 20．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

  AC

  =

  BC

  =

  C

  C

  1

  =

  2

  2

  AB

  ，

  E

  是线段CC₁的中点，连接AE、B₁E、AB₁、B₁C，得到的图形如图所示．
  （1）证明：BC₁⊥平面AB₁C；
  （2）若AC=2，求三棱锥E-AB₁C的侧面积和体积．
  组卷：136引用：1难度：0.6

  解析

• 21．如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，O₁为A₁C₁与B₁D₁的交点．
  （1）设AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小为α，异面直线AD₁与A₁C₁所成角的大小为β，求证：tan²β=2tan²α+1；
  （2）若点C到平面AB₁D₁的距离为

  4

  3

  ，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高；
  （3）在（2）的条件下，若正四棱柱侧面BB₁C₁C上存在点P满足P到线段BC的距离与到线段C₁D₁的距离相等，求

  P

  D

  1

  PA

  的最小值．
  组卷：52引用：2难度：0.5

  解析