2004年全国初中数学竞赛（天津赛区）初赛试卷

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）

• 1．已知：m²+n²+mn+m-n+1=0，则

  1

  m

  +

  1

  n

  的值等于（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  组卷：657引用：5难度：0.9

  解析

• 2．已知a,b,c为非零实数，且a+b+c≠0，若

  a

  +

  b

  -

  c

  c

  =

  a

  -

  b

  +

  c

  b

  =

  -

  a

  +

  b

  +

  c

  a

  ，则

  （

  a

  +

  b

  ）

  （

  b

  +

  c

  ）

  （

  c

  +

  a

  ）

  abc

  等于（　　）

  A．8

  B．4

  C．2

  D．1
  组卷：880引用：3难度：0.9

  解析

• 3．方程

  x

  +

  3

  x

  +

  1

  -

  y

  =

  0

  的整数解有（　　）

  A．1组

  B．2组

  C．3组

  D．4组
  组卷：420引用：2难度：0.7

  解析

• 4．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P，Q为边BC的三等分点．若BM与AP，AQ分别交于D，E两点，则BD，DE，EM三条线段的长度比等于（　　）

  A．3：2：1

  B．4：2：1

  C．5：3：2

  D．5：2：1
  组卷：242引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题（共3小题，满分60分）

• 13．在正2004边形A₁A₂…A₂₀₀₄各顶点上随意填上1，2，…501中的一个数．试证明：一定存在四个顶点满足如下条件：
  （1）这四个顶点构成的四边形为矩形；
  （2）此四边形相对两顶点所填数之和相等．
  组卷：232引用：1难度：0.1

  解析

• 14．已知直线l与⊙O交于不同的两点E，F，CD是⊙O的直径，CA⊥l,DB⊥l,垂足分别为A，B．若AB=7，BD-AC=1，AE=1，试问在线段AB上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与以点P，B，D为顶点的三角形相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
  组卷：195引用：1难度：0.1

  解析