2020-2021学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（5）

一、选择题

• 1．已知a,b∈R，若

  a

  -

  2

  i

  =

  b

  +

  i

  i

  （i是虚数单位），则复数a+bi是（　　）

  A．1-2 i

  B．1+2 i

  C．2-i

  D．2+i
  组卷：298引用：2难度：0.8

  解析

• 2．设A={x|y=

  2

  -

  x

  }，B={x|y=ln（x²-1）}，则A∩∁_UB=（　　）

  A．{x|x＞-2}

  B．{x|1＜x≤2}

  C．{x|-1≤x≤1}

  D．∅
  组卷：12引用：2难度：0.9

  解析

• 3．若实数x,y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x²＞y²”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：204引用：4难度：0.7

  解析

• 4．已知函数f（x）=lnx+x²-ax.若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x平行，则实数a=（　　）

  A． 7 2

  B．2

  C． 3 2

  D．1
  组卷：711引用：5难度：0.8

  解析

• 5．已知a,b＞0，

  （

  a

  -

  1

  b

  ）

  2

  =

  b

  a

  ，则当

  a

  +

  1

  b

  取最小值时，

  a

  2

  +

  1

  b

  2

  的值为（　　）

  A．2

  B． 2 2

  C．3

  D．4
  组卷：972引用：5难度：0.7

  解析

• 6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（

  ω

  ＞

  0

  ，

  |

  φ

  |

  ＜

  π

  2

  ）的最小正周期为π，其图象关于直线

  x

  =

  π

  6

  对称．给出下面四个结论：
  ①将f（x）的图象向右平移

  π

  6

  个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；
  ②点

  （

  5

  π

  12

  ，

  0

  ）

  为f（x）图象的一个对称中心；
  ③

  f

  （

  π

  4

  ）

  =

  1

  2

  ；
  ④f（x）在区间

  [

  0

  ，

  π

  6

  ]

  上单调递增．
  其中正确的结论为（　　）

  A．①②

  B．②③

  C．②④

  D．①④
  组卷：731引用：12难度：0.7

  解析

三、解答题（共3小题，满分0分）

• 19．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁，BB₁C₁C均为正方形，且A₁B₁⊥B₁C₁，M为CC₁的中点，N为A₁B的中点．
  （1）求证：MN∥平面ABC；
  （2）求二面角B-MN-B₁的正弦值；
  （3）设P是棱B₁C₁上一点，若直线PM与平面MNB₁所成角的正弦值为

  2

  15

  ，求

  B

  1

  P

  B

  1

  C

  1

  的值．
  组卷：481引用：3难度：0.7

  解析

• 20．已知函数f（x）=x-mlnx-1（m∈R）在x=1处取得极值A，函数g（x）=f（x）+e^x-1-x,其中e=2.71828…是自然对数的底数．
  （1）求m的值，并判断A是f（x）的最大值还是最小值；
  （2）求g（x）的单调区间；
  （3）证明：对于任意正整数n,不等式

  （

  1

  +

  1

  2

  ）

  （

  1

  +

  1

  2

  2

  ）

  …

  （

  1

  +

  1

  2

  n

  ）

  ＜

  e

  成立．
  组卷：482引用：2难度：0.3

  解析