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2023-2024学年广东省广州中学高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/21 20:0:2

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为-1且倾斜角为
3
π
4
的直线方程为（　　）
A．x+y+1=0 B．x+y-1=0 C．x-y+1=0 D．x-y-1=0
组卷：1065引用：11难度：0.9
解析
2．若直线l∥α，且l的方向向量为（2，m,1），平面α的法向量为
（
1
，
1
2
，
2
）
，则m为（　　）
A．-4 B．-6 C．-8 D．8
组卷：36引用：1难度：0.7
解析
3．两条直线l₁：ax+（1+a）y=3，l₂：（a+1）x+（3-2a）y=2互相垂直，则a的值是（　　）
A．0 B．-1 C．-1或3 D．0或-1
组卷：151引用：5难度：0.7
解析
4．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M为BC的中点，N为A₁C₁靠近A₁的三等分点，设
AB
=
a
，
AC
=
b
，
A
A
1
=
c
，则用
a
，
b
，
c
表示
NM
为（　　）
A．
1
2
a
+
1
6
b
-
c
B．
-
1
2
a
+
1
6
b
+
c
C．
1
2
a
-
1
6
b
-
c
D．
-
1
2
a
-
1
6
b
+
c
组卷：274引用：7难度：0.7
解析
5．“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率．若椭圆
x
2
m
+
y
2
4
=
1
的离心率为
3
2
，则该椭圆的长轴长为（　　）
A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8
组卷：84引用：4难度：0.7
解析
6．已知点A（2，-3），B（-5，-2），若直线l：mx+y+m-1=0与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（　　）
A．
[
-
4
3
，
3
4
]
B．
（
-
∞
，-
4
3
]
∪
[
3
4
，
+
∞
）
C．
[
-
3
4
，
4
3
]
D．
（
-
∞
，-
3
4
]
∪
[
4
3
，
+
∞
）
组卷：254引用：11难度：0.8
解析
7．已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC，则二面角B-CD-A的余弦值为（　　）
A．2 B．
1
2
C．
3
3
D．
5
5
组卷：409引用：8难度：0.8
解析

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四、解答题，本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AE和BD上移动，且EM和DN的长度保持相等，记
EM
=
DN
=
a
（
0
＜
a
＜
2
）
，活动弹子Q在EF上移动．
（1）求证：直线MN∥平面CDE；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）Q为EF上的点，求EB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
组卷：139引用：3难度：0.3
解析
22．已知点P到A（-2，0）的距离是点P到B（1，0）的距离的2倍．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若点P与点Q关于点B对称，点C（5，8），求|QB|²+|QC|²的最大值；
（3）若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点M（m,0），使
ME
•
MF
恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
组卷：98引用：3难度：0.3
解析