人教五四新版九年级（上）中考题同步试卷：29.2 反比例函数与实际问题（02）

一、选择题（共3小题）

• 1．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=

  1

  x

  （x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=

  k

  2

  x

  （x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连接AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（　　）

  A．8

  B．10

  C．3 10

  D．4 6
  组卷：3560引用：47难度：0.1

  解析

• 2．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，

  OA

  OB

  =

  3

  4

  ．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=

  k

  x

  的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为

  2

  7

  时，k的值是（　　）

  A．2

  B．3

  C．5

  D．7
  组卷：4422引用：55难度：0.2

  解析

• 3．如图，点P（-1，1）在双曲线上，过点P的直线l₁与坐标轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=1．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l₂与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为（　　）

  A．10

  B．8

  C．6

  D．不确定
  组卷：2094引用：49难度：0.7

  解析

二、填空题（共2小题）

• 4．如图，反比例函数y=

  k

  x

  的图象经过点（-1，-2

  2

  ），点A是该图象第一象限分支上的动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连接BP．
  （1）k的值为

  ．
  （2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是

  ．
  组卷：4272引用：48难度：0.7

  解析

• 5．如图，直线y=-3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=

  k

  x

  （k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=

  k

  x

  （k≠0）上，则a=

  ．
  组卷：811引用：55难度：0.7

  解析

三、解答题（共25小题）

• 6．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=

  k

  x

  （k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
  （1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=

  ；
  （2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；
  （3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：4859引用：54难度：0.5

  解析

• 7．平面直角坐标系中，点P（x,y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x,y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x,y）的勾股值，记为「P」，即「P」=|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）
  （1）求点A（-1，3），B（

  3

  +2，

  3

  -2）的勾股值「A」、「B」；
  （2）点M在反比例函数y=

  3

  x

  的图象上，且「M」=4，求点M的坐标；
  （3）求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积．
  组卷：1194引用：48难度：0.5

  解析

• 8．如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP²，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
  （1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
  （2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
  （3）如图3，C是函数y=

  3

  x

  （x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．
  
  组卷：3755引用：51难度：0.5

  解析

• 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（-3，

  3

  2

  ），AB=1，AD=2．
  （1）直接写出B、C、D三点的坐标；
  （2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数y=

  k

  x

  （x＞0）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．
  组卷：1930引用：59难度：0.5

  解析

• 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，-3），反比例函数y=

  k

  x

  （x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
  （1）求k的值；
  （2）求△BMN面积的最大值；
  （3）若MA⊥AB，求t的值．
  组卷：5576引用：54难度：0.5

  解析

三、解答题（共25小题）

• 29．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
  （1）求函数y=

  3

  x+2的图象上所有“中国结”的坐标；
  （2）若函数y=

  k

  x

  （k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；
  （3）若二次函数y=（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
  组卷：3898引用：51难度：0.1

  解析

• 30．理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
  思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=

  3

  ．tanD=tan15°=

  1

  2

  +

  3

  =

  2

  -

  3

  （

  2

  +

  3

  ）

  （

  2

  -

  3

  ）

  =2-

  3

  ．
  思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=

  tan

  α

  +

  -

  tanβ

  1

  -

  +

  tanαtanβ

  ．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°-45°）=

  tan

  60

  °

  -

  tan

  45

  °

  1

  +

  tan

  60

  °

  tan

  45

  °

  =

  3

  -

  1

  1

  +

  3

  =2-

  3

  ．
  思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
  思路四 …
  请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
  （1）类比：求出tan75°的值；
  （2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；
  （3）拓展：如图3，直线y=

  1

  2

  x-1与双曲线y=

  4

  x

  交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．
  
  组卷：1386引用：45难度：0.1

  解析