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2022-2023学年内蒙古赤峰市、呼伦贝尔市等高三（上）开学数学试卷（文科）

发布：2025/11/25 16:0:30

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，其中A（
π
12
，2），B（
π
3
，0），则下列说法错误的是（　　）

A．f（x）的最小正周期为π

B．将f（x）的图象向右平移

个单位长度后关于原点对称

C．f（x）在[-π，-

]上单调递减

D．直线x=

为f（x）图象的一条对称轴

组卷：57引用：3难度：0.6

2．在集合{2，3，4，5，6}的所有非空真子集中任选一个，其元素之和为偶数的概率是（　　）
A．
3
5
B．
7
15
C．
1
2
D．
8
15
组卷：33引用：1难度：0.7
3．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点P在△AB₁C内运动，且满足PB=2，则点P的轨迹长度为（　　）
A．
π
2
B．π C．2π D．
6
π
组卷：80引用：1难度：0.6
4．执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
组卷：17引用：1难度：0.9
5．在等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂a₃=8，则a₇=（　　）
A．8 B．16 C．32 D．64
组卷：374引用：2难度：0.7
6．已知三个变量y₁，y₂，y₃随变量x变化数据如表：
x 1 2 4 6 8 …
y₁ 2 4 16 64 256 …
y₂ 1 4 16 36 64 …
y₃ 0 1 2 2.585 3 …
则反映y₁，y₂，y₃随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（　　）
A．
y
1
=
x
2
，
y
2
=
2
x
，
y
3
=
lo
g
2
x
B．
y
1
=
2
x
，
y
2
=
x
2
，
y
3
=
lo
g
2
x
C．
y
1
=
lo
g
2
x
,
y
2
=
x
2
，
y
3
=
2
x
D．
y
1
=
2
x
，
y
2
=
lo
g
2
x
,
y
3
=
x
2
组卷：75引用：3难度：0.7
7．圆（x+1）²+y²=1的圆心到直线y=
3
x-
3
的距离是（　　）
A．0 B．1 C．
3
2
D．
3
组卷：470引用：7难度：0.9
8．如果复数
2
-
bi
1
+
2
i
（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（　　）
A．-6 B．
2
3
C．
-
2
3
D．2
组卷：104引用：11难度：0.9
9．变量x,y满足
x
+
y
≤
2
2
x
-
y
≥
-
2
2
y
-
x
≥
1
，则z=3y-x的取值范围为（　　）
A．[1，2] B．[2，5] C．[2，6] D．[1，6]
组卷：24引用：8难度：0.7
10．已知集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（　　）
A．[0，1） B．（-1，2] C．（1，2] D．（0，1）
组卷：724引用：28难度：0.9
11．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BA=BC，∠ABC=90°，PA=2，若三棱锥P-ABC的体积为6，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（　　）
A．18π B．24π C．36π D．40π
组卷：432引用：7难度：0.6
12．系统找不到该试题

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，点N在抛物线C的准线l上，若
3
MF
+
FN
=
0
，且2|MF|-p=4，则F到l的距离为
．
组卷：50引用：2难度：0.6
14．已知向量
a
，
b
的夹角为
π
6
，且
|
a
|
=
3
|
b
|
=
3
，若
（
λ
a
+
b
）
⊥
a
，则λ=
．
组卷：3引用：2难度：0.8
15．已知数列{a_n}（n≤9）各项均为正整数，对任意的k∈N^*（2≤k≤8），a_k=a_k-1+1和a_k=a_k+1-1中有且仅有一个成立，且a₁=6，a₉=14．记S₉=a₁+a₂+⋯+a₉.给出下列四个结论：
①{a_n}可能为等差数列；
②{a_n}中最大的项为a₉；
③S₉不存在最大值；
④S₉的最小值为36．
其中所有正确结论的序号是
．
组卷：296引用：4难度：0.5
16．若曲线y=ax²与y=lnx有一条斜率为2的公切线，则a=
．
组卷：178引用：7难度：0.6

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（1）自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA中点，过M引割线交圆于B，C两点．求证：∠MCP=∠MPB．
（2）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD的四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），经矩阵
M
=
1
0
k
1
表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边形A₁B₁C₁D₁，问：四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁的面积是否相等？试证明你的结论．
（3）已知A是曲线ρ=12sinθ上的动点，B是曲线
ρ
=
12
cos
（
θ
-
π
6
）
上的动点，试求AB的最大值．
（4）设p是△ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明
x
+
y
+
z
≤
1
2
R
a
2
+
b
2
+
c
2
．
组卷：13引用：1难度：0.3
18．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C参数方程为
x
=
3
cosθ
y
=
sinθ
（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-
π
4
）=2
2
．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
组卷：22引用：1难度：0.3
19．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（a＞b＞0）上一点P到两个焦点的距离之和为4，离心率为
1
2
．
（1）求椭圆C的方程和短轴长；
（2）已知点D（-4，0），过左焦点F₁且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于A，B，设直线AD与椭圆C的另一个交点为E，连接EF₁，求证：F₁D平分∠BF₁E．
组卷：83引用：3难度：0.6
20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2CD=2，△APD为等边三角形，E为棱PB的中点．
（1）证明：CE∥平面PAD；
（2）当PB=
2
2
时，求证：平面PAD⊥平面ABCD．并求点E与到平面PCD的距离．
组卷：42引用：3难度：0.5
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且
sin
（
π
2
+
C
）
=
2
b
+
c
2
a
．
（1）求角A；
（2）若a=4，△ABC的面积为
4
3
3
，求△ABC的周长．
组卷：82引用：2难度：0.6

[选修4～4：坐标系与参数方程]

22．随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升．特别是每年的双十一天猫的交易额数目惊人．2019年天猫公司的工作人员为了迎接”淘宝天猫双十一年度购买狂欢节加班加点做了很多准备活动，经过一天的忙碌，截止到2019年11月11日24时，2019年的天猫双11交易额定格在2600亿元，比2018年双十一总成交额超出500多亿
元．天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜，同时又对2020年充满了憧憬，因此公司工作人员反思从2013年至2019年每年双十一总交易额（此处取近似值），进行分析统计如表：

年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019

总交易额（近似值）单位（百亿） 3.5 5.7 9.1 12 17 21.2 26

可能用到的数据：
7
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
（
y
i
-
y
）
=106.4，
7
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
2
=28
参考公式：
̂
b
=
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
（
y
i
-
y
）
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
2
=
n
∑
i
=
1
x
i
y
i
-
n
x
y
n
∑
i
=
1
x
2
i
-
n
x
2
，
̂
a
=
y
-
̂
b
x

（1）已知年份x与年总交易额y具有线性相关关系，利用最小二乘法求出总交易额与年份之间的回归直线方程：
（2）估计2020年天猫双十一的总交易额会达到多少？

组卷：108引用：1难度：0.7

[选修4～5不等式选讲]

23．已知函数f（x）=
1
2
x
2
+bx+alnx的极大值点是1．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若f（x₀）=f（1）（x₀≠1），证明：a＜x₀＜a²．
组卷：14引用：2难度：0.6

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A． y 1 = x 2 ， y 2 = 2 x ， y 3 = lo g 2 x	B． y 1 = 2 x ， y 2 = x 2 ， y 3 = lo g 2 x
C． y 1 = lo g 2 x , y 2 = x 2 ， y 3 = 2 x	D． y 1 = 2 x ， y 2 = lo g 2 x , y 3 = x 2

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
总交易额（近似值）单位（百亿）	3.5	5.7	9.1	12	17	21.2	26

x	1	2	4	6	8	…
y₁	2	4	16	64	256	…
y₂	1	4	16	36	64	…
y₃	0	1	2	2.585	3	…

2022-2023学年内蒙古赤峰市、呼伦贝尔市等高三（上）开学数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，其中A（π12，2），B（π3，0），则下列说法错误的是（ ）

2．在集合{2，3，4，5，6}的所有非空真子集中任选一个，其元素之和为偶数的概率是（ ）

3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点P在△AB1C内运动，且满足PB=2，则点P的轨迹长度为（ ）

4．执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（ ）

5．在等比数列{an}中，a1=1，a2a3=8，则a7=（ ）

6．已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如表：x12468…y1241664256…y214163664…y30122.5853…则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（ ）

7．圆（x+1）2+y2=1的圆心到直线y=3x-3的距离是（ ）

8．如果复数2-bi1+2i（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）

9．变量x,y满足x+y≤22x-y≥-22y-x≥1，则z=3y-x的取值范围为（ ）

10．已知集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（ ）

11．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BA=BC，∠ABC=90°，PA=2，若三棱锥P-ABC的体积为6，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，点N在抛物线C的准线l上，若3MF+FN=0，且2|MF|-p=4，则F到l的距离为 ．

14．已知向量a，b的夹角为π6，且|a|=3|b|=3，若（λa+b）⊥a，则λ=．

16．若曲线y=ax2与y=lnx有一条斜率为2的公切线，则a=．

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2CD=2，△APD为​等边三角形，E为棱PB的中点． （1）证明：CE∥平面PAD； （2）当PB=22时，求证：平面PAD⊥平面ABCD．并求点E与到平面PCD的距离．

21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且sin（π2+C）=2b+c2a．（1）求角A；（2）若a=4，△ABC的面积为433，求△ABC的周长．

[选修4～4：坐标系与参数方程]

[选修4～5不等式选讲]

23．已知函数f（x）=12x2+bx+alnx的极大值点是1．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x0）=f（1）（x0≠1），证明：a＜x0＜a2．

1．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，其中A（
π
12
，2），B（
π
3
，0），则下列说法错误的是（　　）

2．在集合{2，3，4，5，6}的所有非空真子集中任选一个，其元素之和为偶数的概率是（　　）

3．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点P在△AB₁C内运动，且满足PB=2，则点P的轨迹长度为（　　）

4．执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（　　）

5．在等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂a₃=8，则a₇=（　　）

6．已知三个变量y₁，y₂，y₃随变量x变化数据如表：
x 1 2 4 6 8 …
y₁ 2 4 16 64 256 …
y₂ 1 4 16 36 64 …
y₃ 0 1 2 2.585 3 …
则反映y₁，y₂，y₃随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（　　）

7．圆（x+1）²+y²=1的圆心到直线y=
3
x-
3
的距离是（　　）

8．如果复数
2
-
bi
1
+
2
i
（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（　　）

9．变量x,y满足
x
+
y
≤
2
2
x
-
y
≥
-
2
2
y
-
x
≥
1
，则z=3y-x的取值范围为（　　）

10．已知集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（　　）

11．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BA=BC，∠ABC=90°，PA=2，若三棱锥P-ABC的体积为6，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（　　）

13．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，点N在抛物线C的准线l上，若
3
MF
+
FN
=
0
，且2|MF|-p=4，则F到l的距离为
．

14．已知向量
a
，
b
的夹角为
π
6
，且
|
a
|
=
3
|
b
|
=
3
，若
（
λ
a
+
b
）
⊥
a
，则λ=
．

16．若曲线y=ax²与y=lnx有一条斜率为2的公切线，则a=
．

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2CD=2，△APD为等边三角形，E为棱PB的中点．
（1）证明：CE∥平面PAD；
（2）当PB=
2
2
时，求证：平面PAD⊥平面ABCD．并求点E与到平面PCD的距离．

21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且
sin
（
π
2
+
C
）
=
2
b
+
c
2
a
．
（1）求角A；
（2）若a=4，△ABC的面积为
4
3
3
，求△ABC的周长．

23．已知函数f（x）=
1
2
x
2
+bx+alnx的极大值点是1．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若f（x₀）=f（1）（x₀≠1），证明：a＜x₀＜a²．