2023年上海市青浦区高考数学二模试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

• 1．若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为

  ．
  组卷：154引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知复数z满足

  z

  •

  i

  =

  4

  +

  3

  i

  ，则|z|=

  ．
  组卷：135引用：1难度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  0

  ）

  和

  b

  =

  （

  3

  ，

  1

  ）

  ，则

  b

  在

  a

  方向上的投影向量是

  ．
  组卷：120引用：2难度：0.8

  解析

• 4．过点P（-1，3），与直线

  x

  +

  3

  y

  +

  1

  =

  0

  垂直的直线方程为

  ．
  组卷：210引用：5难度：0.7

  解析

• 5．已知集合A={x|y=ln（3-x）}，B={x|x＞a}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围为

  ．
  组卷：154引用：1难度：0.8

  解析

• 6．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为16π，则球的表面积为

  ．
  组卷：333引用：3难度：0.8

  解析

• 7．已知函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，则不等式（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0的解集是

  ．
  组卷：189引用：2难度：0.8

  解析

三．解答题（本大题共有5题，满分76分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.

• 20．如图，已知A、B、C是抛物线Γ₁：x²=y上的三个点，且直线CB、CA分别与抛物线Γ₂：y²=4x相切，F为抛物线Γ₁的焦点．
  （1）若点C的横坐标为x₃，用x₃表示线段CF的长；
  （2）若CA⊥CB，求点C的坐标；
  （3）证明：直线AB与抛物线Γ₂相切．
  组卷：220引用：1难度：0.5

  解析

• 21．设y=f（x）、y=g（x）是定义域为R的函数，当g（x₁）≠g（x₂）时，
  记

  δ

  （

  x

  1

  ，

  x

  2

  ）

  =

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  g

  （

  x

  1

  ）

  -

  g

  （

  x

  2

  ）

  ．
  （1）已知y=g（x）在区间I上严格增，且对任意x₁，x₂∈I，x₁≠x₂，有δ（x₁，x₂）＞0，
  证明：函数y=f（x）在区间I上严格增；
  （2）已知

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  3

  x

  3

  +

  a

  x

  2

  -

  3

  x

  ，且对任意x₁，x₂∈R，当g（x₁）≠g（x₂）时，有δ（x₁，x₂）＞0，若当x=1时，函数y=f（x）取得极值，求实数a的值；
  （3）已知g（x）=sinx,

  f

  （

  π

  2

  ）

  =

  1

  ，

  f

  （

  -

  π

  2

  ）

  =

  -

  1

  ，且对任意x₁，x₂∈R，当g（x₁）≠g（x₂）时，有|δ（x₁，x₂）|≤1，证明：f（x）=sinx.
  组卷：222引用：4难度：0.6

  解析