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2021-2022学年河南省商丘市名校高二（下）期中数学试卷（理科）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．观察下列各式：3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，…，则3²⁰²²的个位数字是（　　）
A．3 B．9 C．7 D．1
组卷：8引用：2难度：0.8
解析
2．已知函数f（x）的导数f'（x）存在，且f'（1）=2，则
lim
Δ
x
→
0
f
（
1
+
Δ
x
）
-
f
（
1
）
-
2
Δ
x
=（　　）
A．
1
2
B．
-
1
2
C．1 D．-1
组卷：72引用：2难度：0.7
解析
3．若复数
z
=
3
+
mi
i
2023
（m∈R，i为虚数单位）的实部和虚部相等，则z=（　　）
A．-3+3i B．-3-3i C．3+3i D．3-3i
组卷：25引用：1难度：0.9
解析
4．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有（　　）
A．144种 B．216种 C．288种 D．432种
组卷：147引用：3难度：0.6
解析
5．已知函数f（x）=e^2x+x-cosx,则不等式f（2x-1）＞f（-x）的解集为（　　）
A．（-∞，1） B．
（
1
3
，
1
）
C．（0，1） D．
（
1
3
，
+
∞
）
组卷：152引用：2难度：0.8
解析
6．用数学归纳法证明“
1
+
1
2
2
+
1
3
2
+
⋯
+
1
（
2
n
-
1
）
2
＜
2
-
1
2
n
-
1
（
n
≥
2
，
n
∈
N
*
）
”的过程中，从n=k（k≥2，k∈N^*）到n=k+1时，不等式左边增加的项数为（　　）
A．2^k-1项 B．2^k-1项 C．2^k项 D．2^k+1项
组卷：58引用：2难度：0.9
解析
7．甲、乙、丙三人共同收看第24届冬奥会某项目的决赛，他们了解到该项目的参赛运动员来自丹麦、瑞典、挪威、芬兰、冰岛这五个北欧国家，三人做了一个猜运动员国籍的游戏．他们选定了某位运动员，甲说：此运动员来自丹麦或挪威；乙说：此运动员一定不是瑞典和挪威的；丙说：此运动员来自芬兰或冰岛．最后证实，甲、乙、丙三人之中有且只有一人的猜测是正确的，则此运动员来自（　　）
A．丹麦 B．挪威 C．芬兰 D．冰岛
组卷：19引用：2难度：0.7
解析

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三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）

21．椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆C₁：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）和双曲线C₂：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）．
（1）设AB是双曲线C₂：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为弦AB的中点，O为坐标原点，则k_OM•k_AB=
b
2
a
2
为定值．类比双曲线的性质：若AB是椭圆C₁：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，试猜想k_OM•k_AB的值，并证明；
（2）设椭圆C₁：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）交x轴于A，B两点，点P是椭圆C₁上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则
AN
•
BM
为定值b²-a²，类比椭圆的性质：若双曲线C₂：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）交x轴于A，B两点，点P是双曲线C₂上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，试猜想
AN
•
BM
的值，并证明．
组卷：86引用：2难度：0.5
解析
22．已知
f
（
x
）
=
alnx
+
x
2
2
-
（
a
+
1
）
x
，其中a∈R．
（1）若a＞0，试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若1＜a＜e,证明：当x∈（1，e）时，
f
（
x
）
＞
-
e
2
2
．
组卷：47引用：2难度：0.4
解析

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2021-2022学年河南省商丘市名校高二（下）期中数学试卷（理科）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，则32022的个位数字是（ ）

2．已知函数f（x）的导数f'（x）存在，且f'（1）=2，则limΔx→0f（1+Δx）-f（1）-2Δx=（ ）

3．若复数z=3+mii2023（m∈R，i为虚数单位）的实部和虚部相等，则z=（ ）

5．已知函数f（x）=e2x+x-cosx,则不等式f（2x-1）＞f（-x）的解集为（ ）

6．用数学归纳法证明“1+122+132+⋯+1（2n-1）2＜2-12n-1（n≥2，n∈N*）”的过程中，从n=k（k≥2，k∈N*）到n=k+1时，不等式左边增加的项数为（ ）

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）

22．已知f（x）=alnx+x22-（a+1）x，其中a∈R．（1）若a＞0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若1＜a＜e,证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞-e22．

1．观察下列各式：3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，…，则3²⁰²²的个位数字是（　　）

2．已知函数f（x）的导数f'（x）存在，且f'（1）=2，则
lim
Δ
x
→
0
f
（
1
+
Δ
x
）
-
f
（
1
）
-
2
Δ
x
=（　　）

3．若复数
z
=
3
+
mi
i
2023
（m∈R，i为虚数单位）的实部和虚部相等，则z=（　　）

5．已知函数f（x）=e^2x+x-cosx,则不等式f（2x-1）＞f（-x）的解集为（　　）

6．用数学归纳法证明“
1
+
1
2
2
+
1
3
2
+
⋯
+
1
（
2
n
-
1
）
2
＜
2
-
1
2
n
-
1
（
n
≥
2
，
n
∈
N
*
）
”的过程中，从n=k（k≥2，k∈N^*）到n=k+1时，不等式左边增加的项数为（　　）

22．已知
f
（
x
）
=
alnx
+
x
2
2
-
（
a
+
1
）
x
，其中a∈R．
（1）若a＞0，试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若1＜a＜e,证明：当x∈（1，e）时，
f
（
x
）
＞
-
e
2
2
．