2023年北京市普通高中第一次学业水平合格性考试数学试卷

一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，则∁_UA=（　　）

  A．{4}

  B．{3，4}

  C．{3}

  D．{1，3，4}
  组卷：241引用：10难度：0.9

  解析

• 2．不等式x²＞0的解集为（　　）

  A．{x|x＞0}

  B．{x|x＜0}

  C．{x|x≠0}

  D．{x|x∈R}
  组卷：317引用：3难度：0.9

  解析

• 3．函数f（x）=x-1的零点是（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．1

  D．2
  组卷：173引用：2难度：0.8

  解析

• 4．在平面直角坐标系xOy中，角α以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点（-1，1），则角α可以是（　　）

  A． π 4

  B． π 2

  C． 3 π 4

  D．π
  组卷：304引用：2难度：0.8

  解析

• 5．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为12，则三棱锥A-A₁B₁C₁的体积为（　　）

  A．3

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：138引用：2难度：0.7

  解析

• 6．已知

  sinα

  =

  1

  2

  ，则sin（-α）=（　　）

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C． - 2 2

  D． 2 2
  组卷：632引用：2难度：0.9

  解析

• 7．lg100=（　　）

  A．-100

  B．100

  C．-2

  D．2
  组卷：342引用：2难度：0.8

  解析

• 8．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与

  OA

  相等的是（　　）

  A． DO

  B． EO

  C． FO

  D． CO
  组卷：648引用：2难度：0.5

  解析

• 9．下列函数中，在R上为增函数的是（　　）

  A．f（x）=-x

  B．f（x）=x2

  C．f（x）=2x

  D．f（x）=cosx
  组卷：202引用：3难度：0.7

  解析

三、解答题共4小题，共28分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 27．阅读下面题目及其解答过程．
  如图1，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D，E分别为BC，A₁B₁的中点．
  
  （1）求证：DE∥平面A₁ACC₁；
  （2）求证：AB⊥DE．
  解：（1）取A₁C₁的中点F，连接EF，FC，如图2所示．
  在△A₁B₁C₁中，E，F分别为A₁B₁，A₁C₁的中点，
  所以EF∥B₁C₁，

  EF

  =

  1

  2

  B

  1

  C

  1

  ．
  由题意知，四边形B₁BCC₁为①．
  因为D为BC的中点，所以DC∥B₁C₁，

  DC

  =

  1

  2

  B

  1

  C

  1

  ．
  所以EF∥DC，EF=DC．
  所以四边形DCFE为平行四边形，
  所以DE∥CF．
  又②，CF⊂平面A₁ACC₁，
  所以，DE∥平面A₁ACC₁．
  （2）因为ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，所以A₁A⊥平面ABC．
  又AB⊂平面ABC，所以③．
  因为AB⊥AC，且A₁A⊥AC=A，所以④．
  又CF⊂平面A₁ACC₁，所以AB⊥CF．
  因为⑤，所以AB⊥DE．
  以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个序号，如下的表格中为每个序号给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项（只需填写“A”或“B”）．
  

  序号	选项
  ①	A．矩形ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤB．梯形
  ②	A．DE⊄平面A1ACC1ㅤㅤB．DE⊂平面A1ACC1
  ③	A．BC⊥A1AㅤㅤㅤㅤㅤㅤB．AB⊥A1A
  ④	A．AB⊥平面A1ACC1ㅤㅤB．BC⊥平面A1ACC1
  ⑤	A．DE=CFㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤB．DE∥CF
  组卷：53引用：2难度：0.7

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• 28．给定正整数k≥2，设集合M={（x₁，x₂，…，x_k）|x_i∈{0，1}，i=1，2，…，k}．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素（y₁，y₂，…，y_k），（z₁，z₂，…，z_k），有y₁+y₂+…+y_k=z₁+z₂+…+z_k，且y₁+z₁，y₂+z₂，…，y_k+z_k中有且只有一个为2，则称A具有性质P．
  （1）当k=2时，判断A={（1，0），（0，1）}是否具有性质P；（结论无需证明）
  （2）当k=3时，写出一个具有性质P的集合A；
  （3）当k=4时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．
  组卷：67引用：2难度：0.5

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