2023-2024学年江苏省百校联考高三（上）第一次月考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

• 1．设集合A={x∈N^*|2^x＜4}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（　　）

  A．{x|-1＜x＜2}

  B．{x|x＜2}

  C．{0，1}

  D．{1}
  组卷：7引用：2难度：0.8

  解析

• 2．“

  a

  ∥

  b

  ”是“|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  |+|

  b

  |的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：30引用：1难度：0.9

  解析

• 3．欧拉公式 e^iθ=cosθ+isinθ（其中e=2.718…，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是（　　）

  A．eiπ 的实部为1

  B．e2i在复平面内对应的点在第一象限

  C．|eiθ|=1

  D．eiπ 的共轭复数为1
  组卷：13引用：3难度：0.8

  解析

• 4．已知直线l：x+my+1=0和圆E：x²+y²-4x+3=0，则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  组卷：160引用：2难度：0.6

  解析

• 5．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（　　）

  A．乙分到28文，丁分到24文

  B．乙分到30文，丁分到26文

  C．乙分到24文，丁分到28文

  D．乙分到26文，丁分到30文
  组卷：112引用：3难度：0.7

  解析

• 6．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  3

  +

  y

  2

  =

  1

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线y=x-m与C交于A，B两点，若F₁和F₂到直线AB的距离之比等于3，则m=（　　）

  A．- 2 2

  B． 2 2

  C． 2 2

  D． 2 2 或 2 2
  组卷：89引用：1难度：0.6

  解析

• 7．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  e

  x

  ,

  g

  （

  x

  ）

  =

  -

  lnx

  x

  ，若f（x₁）=g（x₂）=t（＞0），则

  x

  1

  x

  2

  e

  t

  的最大值为（　　）

  A．e

  B．1

  C． 1 e

  D． 1 e 2
  组卷：361引用：4难度：0.2

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明？证明过程或演算步骤.

• 21．已知双曲线E：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的两条渐近线分别为

  l

  1

  ：

  y

  =

  x

  2

  ，

  l

  2

  ：

  y

  =

  -

  x

  2

  ．
  （1）求双曲线E的离心率；
  （2）O为坐标原点，过双曲线上一点

  P

  （

  2

  2

  ，

  1

  ）

  作直线l分别交直线l₁，l₂ 于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且

  PB

  =2

  AP

  ，求△AOB的面积．
  组卷：164引用：7难度：0.5

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• 22．已知函数f（x）=（x+a）e^x，a∈R．
  （1）当a=1时，求f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
  （2）对任意x∈R，不等式

  f

  （

  x

  ）

  ≥

  1

  6

  x

  3

  -

  x

  -

  2

  恒成立，求a的取值范围．
  组卷：99引用：1难度：0.5

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