2023-2024学年上海实验学校高二（上）期中数学试卷

一、填空题（共40分，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分）

• 1．若A∈α，A∈β，且α∩β=l,则A

  l.（用集合符号表示）
  组卷：70引用：2难度：0.9

  解析

• 2．已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则圆锥的表面积为

  ．
  组卷：57引用：2难度：0.7

  解析

• 3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的

   

  ．
  组卷：47引用：4难度：0.5

  解析

• 4．设x、y∈R，向量

  a

  =

  （

  x

  ,

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  y

  ,

  1

  ）

  ，

  c

  =

  （

  2

  ，-

  4

  ，

  2

  ）

  ，且

  a

  ⊥

  c

  ，

  b

  ∥

  c

  ，则x+y的值为

  ．
  组卷：187引用：8难度：0.8

  解析

• 5．如图的四面体OABC中，所有棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，M，N分别是棱OA，BC的中点，则直线OA与平面CMN所成角的大小为

  ．
  组卷：85引用：3难度：0.6

  解析

• 6．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为

  ．
  组卷：74引用：3难度：0.7

  解析

四、附加题（共20分，要求写出必要的解答或证明步骤）

• 19．如图，直线AQ⊥平面α，直线AQ⊥平行四边形ABCD，四棱锥P-ABCD的顶点P在平面α上，

  AB

  =

  7

  ，

  AD

  =

  3

  ，AD⊥DB，AC∩BD=O，OP∥AQ，AQ=2，M，N分别是AQ与CD的中点．
  （1）求证：MN∥平面QBC；
  （2）求二面角M-CB-Q的余弦值．
  组卷：31引用：4难度：0.4

  解析

• 20．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分别以AC，CE，EA为轴将△ACH，△CEJ，△EAK分别向上翻转180°，使H，J，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是

  π

  3

  ，所以正四面体在各顶点的曲率为

  2

  π

  -

  3

  ×

  π

  3

  =

  π

  ．
  
  （1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
  （2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH=x
  （i）用x表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积S（x）；
  （ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值．
  组卷：152引用：5难度：0.4

  解析