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2023-2024学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/11 12:0:1

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．方程（x²+y²-2）
x
-
3
=0表示的曲线是（　　）
A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线
C．一个圆 D．一条直线
组卷：467引用：6难度：0.9
解析
2．已知O是坐标原点，空间向量
OA
=
（
1
，
1
，
2
）
，
OB
=
（
-
1
，
3
，
4
）
，
OC
=
（
2
，
4
，
4
）
，若线段AB的中点为D，则
|
CD
|
=（　　）
A．9 B．8 C．3 D．
2
2
组卷：607引用：14难度：0.5
解析
3．“a=-3”是“圆x²+y²=1与圆（x+a）²+y²=4相切”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：67引用：5难度：0.7
解析
4．如图在四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G为MN上一点．且
MG
=
2
3
MN
，若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
b
．则
OG
=（　　）
A．
1
3
a
+
1
3
b
+
1
3
c
B．
1
3
a
+
1
3
b
+
1
6
c
C．
1
3
a
+
1
6
b
+
1
3
c
D．
1
6
a
+
1
3
b
+
1
3
c
组卷：146引用：7难度：0.7
解析
5．直线l过点M（2，1）且与椭圆x²+4y²=16相交于A，B两点，若点M为弦AB的中点，则直线l的斜率为（　　）
A．
-
1
2
B．
1
2
C．-1 D．1
组卷：362引用：5难度：0.7
解析
6．已知F为椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若|MN|等于|PF|的最小值的3倍，则C的离心率为（　　）
A．
1
3
B．
1
2
C．
3
3
D．
3
2
组卷：757引用：12难度：0.6
解析
7．已知点P在直线y=-x-3上运动，M是圆x²+y²=1上的动点，N是圆（x-9）²+（y-2）²=16上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）
A．13 B．11 C．9 D．8
组卷：788引用：13难度：0.5
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

21．如图1，等腰梯形AECD是由三个全等的等边三角形拼成，现将△BCE沿BC翻折至△BCP，使得
PD
=
3
2
AB
，如图2所示．

（1）求证：PD⊥BC；
（2）在直线PD上是否存在点M，使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为
10
4
？若存在，求出
PM
DM
的值；若不存在，说明理由．
组卷：198引用：5难度：0.3
解析
22．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁，F₂，短轴的一个端点为点P，△PF₁F₂内切圆的半径为
b
3
．设过点F₂的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．
组卷：127引用：5难度：0.3
解析

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A．一个圆和一条直线	B．一个圆和一条射线
C．一个圆	D．一条直线

A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件

A． 1 3 a + 1 3 b + 1 3 c	B． 1 3 a + 1 3 b + 1 6 c
C． 1 3 a + 1 6 b + 1 3 c	D． 1 6 a + 1 3 b + 1 3 c

2023-2024学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．方程（x2+y2-2）x-3=0表示的曲线是（ ）

2．已知O是坐标原点，空间向量OA=（1，1，2），OB=（-1，3，4），OC=（2，4，4），若线段AB的中点为D，则|CD|=（ ）

3．“a=-3”是“圆x2+y2=1与圆（x+a）2+y2=4相切”的（ ）

4．如图在四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G为MN上一点．且MG=23MN，若OA=a，OB=b，OC=b．则OG=（ ）

5．直线l过点M（2，1）且与椭圆x2+4y2=16相交于A，B两点，若点M为弦AB的中点，则直线l的斜率为（ ）

6．已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若|MN|等于|PF|的最小值的3倍，则C的离心率为（ ）

7．已知点P在直线y=-x-3上运动，M是圆x2+y2=1上的动点，N是圆（x-9）2+（y-2）2=16上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

1．方程（x²+y²-2）
x
-
3
=0表示的曲线是（　　）

2．已知O是坐标原点，空间向量
OA
=
（
1
，
1
，
2
）
，
OB
=
（
-
1
，
3
，
4
）
，
OC
=
（
2
，
4
，
4
）
，若线段AB的中点为D，则
|
CD
|
=（　　）

3．“a=-3”是“圆x²+y²=1与圆（x+a）²+y²=4相切”的（　　）

4．如图在四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G为MN上一点．且
MG
=
2
3
MN
，若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
b
．则
OG
=（　　）

5．直线l过点M（2，1）且与椭圆x²+4y²=16相交于A，B两点，若点M为弦AB的中点，则直线l的斜率为（　　）

6．已知F为椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若|MN|等于|PF|的最小值的3倍，则C的离心率为（　　）

7．已知点P在直线y=-x-3上运动，M是圆x²+y²=1上的动点，N是圆（x-9）²+（y-2）²=16上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）