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2022-2023学年湖北省十堰市天河英才高中高二（上）期中数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、单选题。（40分）

1．若倾斜角为
π
3
的直线过A（2，a），B（1，
3
）两点，则实数a=（　　）
A．3
3
B．2
3
C．
3
D．
3
2
组卷：164引用：5难度：0.8
解析
2．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若
OM
=
2
5
OA
+
1
6
OB
+
λ
OC
，则A，B，C，M四点共面的充要条件是（　　）
A．
λ
=
17
30
B．
λ
=
13
30
C．
λ
=
-
17
30
D．
λ
=
-
13
30
组卷：91引用：9难度：0.8
解析
3．已知向量
AB
=（2，3，0），
AC
=（1，0，1），则平面ABC的一个法向量为（　　）
A．（3，2，-3） B．（3，2，3） C．（3，-2，3） D．（3，-2，-3）
组卷：203引用：4难度：0.8
解析
4．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若
AB
=
a
，
AD
=
b
，
A
A
1
=
c
，点P为A₁C₁与B₁D₁的交点，则
DP
=（　　）
A．
1
2
a
+
1
2
b
+
c
B．
a
+
1
2
b
-
1
2
c
C．
1
2
a
-
1
2
b
+
c
D．
1
2
a
+
1
2
b
-
c
组卷：326引用：10难度：0.9
解析
5．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0-9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
402　　978　　191　　925　　273　　842　　812　　479　　569　　683
231　　357　　394　　027　　506　　588　　730　　113　　537　　779
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（　　）
A．
1
4
B．
2
5
C．
7
10
D．
1
5
组卷：389引用：9难度：0.9
解析
6．已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各棱长均为1，∠A₁AB=∠A₁AD=45°，∠DAB=90°，则|BD₁|=（　　）
A．
3
B．
2
-
1
C．
2
D．
2
+
1
组卷：67引用：7难度：0.5
解析
7．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱AB上的点，且AE=3EB，G，F分别是棱DD₁，BC的中点，则异面直线GB₁与EF所成角的余弦值为（　　）
A．
2
2
B．
5
3
C．
3
2
D．
2
5
15
组卷：135引用：8难度：0.7
解析

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四、解答题。

21．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=
π
2
，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=
2
，CE=2EB=2．
（1）证明：ED⊥平面PCD；
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．
组卷：33引用：2难度：0.5
解析
22．在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求平面EMC与平面BCD所夹角的余弦值；
（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60°，若存在，求|CN|的长；若不存在，请说明理由．
组卷：159引用：4难度：0.5
解析