2002年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）

• 1．设a＜b＜0，a²+b²=4ab,则

  a

  +

  b

  a

  -

  b

  的值为（　　）

  A． 3

  B． 6

  C．2

  D．3
  组卷：1000引用：13难度：0.9

  解析

• 2．已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a²+b²+c²-ab-bc-ac的值为（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：9730引用：11难度：0.9

  解析

• 3．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，连AF，CE，设AF，CE交于点G，则

  S

  四边形

  AGCD

  S

  矩形

  ABCD

  等于（　　）

  A． 5 6

  B． 4 5

  C． 3 4

  D． 2 3
  组卷：1309引用：7难度：0.9

  解析

• 4．设a、b、c为实数，

  x

  =

  a

  2

  -

  2

  b

  +

  π

  3

  ，

  y

  =

  b

  2

  -

  2

  c

  +

  π

  6

  ，

  z

  =

  c

  2

  -

  2

  a

  +

  π

  2

  ，则x、y、z中，至少有一个值（　　）

  A．大于0

  B．等于0

  C．不大于0

  D．小于0
  组卷：209引用：6难度：0.9

  解析

• 5．设关于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x₁、x₂，且x₁＜1＜x₂，那么实数a的取值范围是（　　）

  A． a ＜ - 2 11

  B． 2 7 ＜ a ＜ 2 5

  C． a ＞ 2 5

  D． - 2 11 ＜ a ＜ 0
  组卷：12268引用：41难度：0.3

  解析

三、解答题（共3小题，满分60分）

• 14．如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CE的交点为P．
  求证：（1）

  QD

  ED

  =

  AC

  EC

  ；
  （2）

  CP

  PE

  =

  A

  C

  2

  C

  E

  2

  ．
  组卷：120引用：3难度：0.5

  解析

• 15．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），
  证明：（1）2a,2b,c都是整数；
  （2）a,b,c都是整数，并且c是平方数；
  （3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数？
  组卷：352引用：6难度：0.1

  解析