人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（19）

一、解答题（共30小题）

• 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
  （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k,b用含a的式子表示）；
  （2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为

  5

  4

  ，求a的值；
  （3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
  
  组卷：13112引用：62难度：0.5

  解析

• 2．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
  （1）则点A，B，C的坐标分别是A（

   

  ，

   

  ），B（

   

  ，

   

  ），C（

   

  ，

   

  ）；
  （2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=

  1

  4

  （x-5）²+k,它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
  （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
  组卷：2351引用：51难度：0.5

  解析

• 3．如图，抛物线经过A（-2，0），B（-

  1

  2

  ，0），C（0，2）三点．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；
  （3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：3210引用：56难度：0.3

  解析

• 4．如图，抛物线y=ax²+bx-

  5

  3

  经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．
  （1）求此抛物线的解析式；
  （2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；
  （3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：1584引用：53难度：0.5

  解析

• 5．如图，已知图①中抛物线y=ax²+bx+c经过点D（-1，0），C（0，-1），E（1，0）．
  
  （1）求图①中抛物线的函数表达式．
  （2）将图①中的抛物线向上平移一个单位，得到图②中的抛物线，点D与点D₁是平移前后的对应点，求该抛物线的函数表达式．
  （3）将图②中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后得到图③中的抛物线，所得到抛物线表达式为y²=2px,点D₁与D₂是旋转前后的对应点，求图③中抛物线的函数表达式．
  （4）将图③中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后与直线y=-x-1相交于A、B两点，D₂与D₃是旋转前后如图④，求线段AB的长．
  组卷：866引用：50难度：0.5

  解析

• 6．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
  （3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：4454引用：61难度：0.5

  解析

• 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=-x²+2x+3经过点A、C、A′三点．
  （1）求A、A′、C三点的坐标；
  （2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；
  （3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．
  组卷：1341引用：51难度：0.5

  解析

• 8．如图，已知点O（0，0），A（-5，0），B（2，1），抛物线l：y=-（x-h）²+1（h为常数）与y轴的交点为C．
  （1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
  （2）设点C的纵坐标为y_c，求y_c的最大值，此时l上有两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥0，比较y₁与y₂的大小；
  （3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．
  组卷：3619引用：55难度：0.5

  解析

• 9．已知：抛物线l₁：y=-x²+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为直线x=1，抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，-

  5

  2

  ）．
  （1）求抛物线l₂的函数表达式；
  （2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
  （3）M为抛物线l₂上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l₁于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
  
  组卷：4092引用：59难度：0.5

  解析

• 10．已知抛物线y=x²-2mx+m²+m-1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x-1．
  （1）求证：点P在直线l上；
  （2）当m=-3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标；
  （3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．
  组卷：3407引用：53难度：0.2

  解析

一、解答题（共30小题）

• 29．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a,2b,点A，D，G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线y=mx²过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点M．
  （1）若a=1，求m和b的值；
  （2）求

  b

  a

  的值；
  （3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由．
  组卷：1824引用：52难度：0.3

  解析

• 30．如图，在平面直角坐标系中．顶点为（-4，-1）的抛物线交y轴于点A（0，3），交x轴于B，C两点．
  （1）求此抛物线的解析式；
  （2）已知点P是抛物线上位于B，C两点之间的一个动点，问：当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时四边形ABPC的面积．
  （3）过点B作AB的垂线交抛物线于点D，是否存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．
  组卷：1403引用：51难度：0.3

  解析