2022-2023学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z||x|＜2}，则∁_UA=（　　）

  A．{-1，0，1}

  B．{-2，2，3}

  C．{-2，-1，2}

  D．{-2，0，3}
  组卷：225引用：8难度：0.9

  解析

• 2．设复数z=3-i,则复数i•z在复平面内对应的点的坐标是（　　）

  A．（1，3）

  B．（-1，3）

  C．（3，1）

  D．（3，-1）
  组卷：343引用：3难度：0.7

  解析

• 3．已知函数f（x）=lg|x|，则f（x）（　　）

  A．是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数

  B．是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数

  C．是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数

  D．是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
  组卷：199引用：1难度：0.8

  解析

• 4．已知双曲线C：3x²-y²=3，则C的焦点到其渐近线的距离为（　　）

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D．3
  组卷：360引用：3难度：0.7

  解析

• 5．设x,y∈R，且0＜x＜y＜1，则（　　）

  A．x2＞y2	B．tanx＞tany
  C．4x＞2y	D． x + 1 x ＞ y （ 2 - y ）
  组卷：263引用：3难度：0.9

  解析

• 6．在△ABC中，若c=4，b-a=1，cosC=-

  1

  4

  ，则△ABC的面积是（　　）

  A．1

  B． 3 4

  C． 15

  D． 3 15 4
  组卷：757引用：3难度：0.7

  解析

• 7．“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=

  - 10 t + 290 ， 0 ≤ t ≤ 12

  56 t - 24 ， 12 ＜ t ≤ 24

  描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（　　）

  A．5小时

  B．6小时

  C．7小时

  D．8小时
  组卷：365引用：3难度：0.5

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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 20．已知函数f（x）=alnx+xe^x-e,其中a∈R．
  （Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
  （Ⅱ）当a＞0时，判断f（x）的零点个数，并加以证明；
  （Ⅲ）当a＜0时，证明：存在实数m,使f（x）≥m恒成立．
  组卷：1084引用：7难度：0.4

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• 21．已知A_n：a₁，a₂，…a_n，（n≥4）为有穷数列．若对任意的i∈{0，1，…，n-1}，都有|a_i+1-a_i|≤1（规定a₀=a_n），则称A_n具有性质P．
  设T_n={（i,j）||a_i-a_j|≤1，2≤j-i≤n-2（i,j=1，2，…，n）}
  （Ⅰ）判断数列A₄：1，0.1，-1.2，-0.5，A5：1，2，2.5，1.5，2是否具有性质P？若具有性质P，写出对应的集合T_n；
  （Ⅱ）若A₄具有性质P，证明：T₄≠∅；
  （Ⅲ）给定正整数n,对所有具有性质P的数列A_n，求T_n中元素个数的最小值．
  组卷：160引用：4难度：0.4

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