2022-2023学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（上）开学数学试卷

一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分．满分54分）

• 1．使等式

  x

  2

  -

  6

  x

  +

  9

  =

  3

  -

  x

  成立的x的取值范围是

  ．
  组卷：75引用：1难度：0.9

  解析

• 2．若-2∈{3，5，x,x²+3x}，则实数x=

  ．
  组卷：176引用：4难度：0.8

  解析

• 3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}，若A⊂B，则a的范围是

  ．
  组卷：121引用：1难度：0.9

  解析

• 4．若对任意的x均有（7x-a）²=49x²-bx+9（a、b为常数），则a+b=

  ．
  组卷：54引用：1难度：0.8

  解析

• 5．一组数据3，4，6，8，x的中位数是x,且x是满足不等式组

  x - 3 ≥ 0

  5 - x ＜ 0

  的整数，则这组数据的平均数是

  ．
  组卷：42引用：1难度：0.8

  解析

• 6．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线

  y

  =

  1

  2

  x

  上，点N在直线y=x+3上，设点M的对称点坐标为（a,b），则二次函数y=-abx²+（a+b）x的最大值为

  ．
  组卷：46引用：1难度：0.5

  解析

• 7．设

  x

  x

  2

  +

  x

  +

  1

  =

  a

  （

  a

  ≠

  1

  2

  ）

  ，则用含a的最简分式形式表示代数式

  x

  2

  x

  4

  +

  x

  2

  +

  1

  的值为

  ．
  组卷：109引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题、满分76分）

• 20．设集合A={m+n

  3

  |m²-3n²=1，m,n∈Z}．
  （1）证明：若a∈A，则

  1

  a

  ∈A，且

  a

  2

  +

  3

  ∈A；
  （2）对于实数p,q,如果1＜p≤q,证明：2

  ＜

  p

  +

  1

  p

  ≤

  q

  +

  1

  q

  ；并由此说明，A中元素若满足1

  ＜

  b

  ≤

  2

  +

  3

  ，则b=2

  +

  3

  ；
  （3）设c∈A，试求满足2

  +

  3

  ＜c≤（2

  +

  3

  ）²的A的元素．
  组卷：228引用：2难度：0.4

  解析

• 21．若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①0∈A，l∈A；②若x、y∈A，则x-y∈A，且x≠0时，

  1

  x

  ∈

  A

  ．
  （1）分别判断集合B={-1，0，1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；
  （2）设集合A是“好集”，求证：若x、y∈A，则x+y∈A；
  （3）对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若x、y∈A，则必有xy∈A．
  组卷：92引用：1难度：0.7

  解析