2021-2022学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．若a＞0，化简：

  （

  a

  3

  2

  ）

  3

  •

  a

  =

  ．
  组卷：192引用：3难度：0.9

  解析

• 2．已知扇形的弧长为

  5

  π

  3

  ，半径为2，则此扇形的圆心角的弧度数是

  ．
  组卷：27引用：2难度：0.7

  解析

• 3．在年利率为5%，且按年计复利的条件下，1万元存款连本带利超过5万元需要

  年（log_1.055≈32.98）．
  组卷：26引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知log₇3=a,7^b=2，用a及b表示log₇72=

  ．
  组卷：135引用：4难度：0.7

  解析

• 5．若幂函数

  y

  =

  x

  -

  m

  2

  +

  2

  m

  +

  1

  （m为整数）的定义域为R，则m=

  ．
  组卷：42引用：3难度：0.7

  解析

• 6．不等式2^x+log₂x＞2的解集是

  ．
  组卷：19引用：2难度：0.7

  解析

• 7．用集合符号填空：

  {

  a

  |

  a

  =

  x

  +

  2

  y

  ,

  x

  ,

  y

  ∈

  Q

  }

  Q．
  组卷：21引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共5题，满分76分）

• 20．已知函数g（x）=|log₂x|．
  （1）若关于x的方程g（x）=n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；
  （2）若m∈R，f（x）=g（x+m），判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；
  （3）是否存在实数a∈（2，4），使得对任意p∈[1，2]，关于x的方程4g²（x）-4ag（x）+3a-1=p在区间

  [

  1

  8

  ，

  4

  ]

  上总有3个不等根x₁，x₂，x₃，若存在，求出实数a与x₁•x₂•x₃的取值范围；若不存在，说明理由．
  组卷：32引用：2难度：0.4

  解析

• 21．已知函数f（x），g（x）的在数集D上都有定义，对于任意的x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，

  g

  （

  x

  1

  ）

  ≤

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  x

  1

  -

  x

  2

  ≤

  g

  （

  x

  2

  ）

  或

  g

  （

  x

  2

  ）

  ≤

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  x

  1

  -

  x

  2

  ≤

  g

  （

  x

  1

  ）

  成立，则称g（x）是数集D上f（x）的“限制函数”．
  （1）试判断函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  2

  是否是函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  -

  1

  x

  在D=（0，+∞）上的“限制函数”；
  （2）设g（x）是f（x）在区间D₁（D₁⊆D）上的“限制函数”且g（x）在区间D₁上的值恒正，求证：函数f（x）在区间D₁上是增函数；
  （3）设

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  -

  2

  x

  ，试写出函数f（x）在D=（0，+∞）上的“限制函数”，并利用（2）的结论，求f（x）在D=（0，+∞）上的单调区间，说明理由．
  组卷：73引用：3难度：0.6

  解析