2022-2023学年北京八中高二（上）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．已知直线l₁：ax-y-1=0，l₂：ax+（a+2）y+1=0．若l₁⊥l₂，则实数a=（　　）

  A．-1或1

  B．0或1

  C．-1或2

  D．-3或2
  组卷：907引用：10难度：0.8

  解析

• 2．在

  （

  3

  x

  -

  2

  x

  ）

  8

  的展开式中，常数项为（　　）

  A．-112

  B．112

  C．-1120

  D．1120
  组卷：475引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）的离心率为

  5

  2

  ，则C的渐近线方程为（　　）

  A． y =± 1 4 x

  B． y =± 1 3 x

  C． y =± 1 2 x

  D．y=±x
  组卷：722引用：13难度：0.7

  解析

• 4．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则

  AD

  +

  1

  2

  （

  BC

  -

  BD

  ）等于（　　）

  A． AD

  B． FA

  C． AF

  D． EF
  组卷：976引用：7难度：0.7

  解析

• 5．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（　　）

  A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是 a = （ 2 ，3，-1）， b = （ - 2 ，-3，1），则l1∥l2

  B．直线l的方向向量 a = （ 1 ，-1，2），平面α的法向量是 u = （ 6 ，4，-1），则l⊥α

  C．两个不同的平面α，β的法向量分别是 u = （ 2 ，2，-1）， v = （ - 3 ，4，2），则α⊥β

  D．直线l的方向向量 a = （ 0 ，3，0），平面α的法向量是 u = （ 0 ，-5，0），则l∥α
  组卷：894引用：56难度：0.9

  解析

• 6．“a＞1”是“直线y=ax-1的倾斜角大于

  π

  4

  ”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：73引用：1难度：0.7

  解析

• 7．当动点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体对角线A₁C上运动时，异面直线BP与AD₁所成角的取值范围是（　　）

  A．[ π 6 ， π 4 ]

  B．[ π 6 ， π 3 ]

  C．[ π 4 ， π 3 ]

  D．[ π 3 ， π 2 ]
  组卷：387引用：3难度：0.6

  解析

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为

  2

  2

  ，离心率为

  3

  3

  ．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）一条动直线l与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，△OMN的面积为

  6

  2

  ，求证：|OM|²+|ON|²为定值．
  组卷：476引用：1难度：0.5

  解析

• 21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对任意的点P（x,y），定义|OP|=|x|+|y|．任取点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），记A'（x₁，y₂），B'（x₂，y₁），若此时|OA|²+|OB|²≥|OA'|²+|OB'|²成立，则称点A，B相关．
  （Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
  ①A（-2，1），B（3，2）；②C（4，-3），D（2，4）．
  （Ⅱ）给定n∈N*，n≥3，点集Ω_n={（x,y）|-n≤x≤n,-n≤y≤n,x,y∈Z}．
  （i）求集合Ω_n中与点A（1，1）相关的点的个数；
  （ii）若S⊆Ω_n，且对于任意的A，B∈S，点A，B相关，求S中元素个数的最大值．
  组卷：272引用：14难度：0.6

  解析