2010年上海市“新知杯”初中数学竞赛试卷

一、填空题（共10小题，每小题8分，满分80分）

• 1．已知

  x

  +

  1

  x

  =

  3

  ，则

  x

  10

  +

  x

  5

  +

  1

  x

  5

  +

  1

  x

  10

  =

   

  ．
  组卷：161引用：1难度：0.9

  解析

• 2．满足方程（x+3）²+y²+（x-y）²=3的所有实数对（x,y）为

  ．
  组卷：123引用：1难度：0.9

  解析

• 3．已知直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，CA=3，CD为∠C的角平分线，则CD=

  ．
  组卷：300引用：1难度：0.7

  解析

• 4．若前2011个正整数的乘积1×2×…×2011能被2010^k整除，则 正整数k的最大值为

   

  ．
  组卷：157引用：1难度：0.5

  解析

二、解答题（共4小题，满分60分）

• 13．设实数x,y,z满足x+y+z=0，且（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2，求x的最大值和最小值．
  组卷：254引用：1难度：0.1

  解析

• 14．称具有a²+161b²形式的数为“好数”，其中a,b都是整数．
  （1）证明：100，2010都是“好数”．
  （2）证明：存在正整数x,y,使得x¹⁶¹+y¹⁶¹是“好数”，而x+y不是“好数”．
  组卷：125引用：1难度：0.1

  解析