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2021-2022学年辽宁省沈阳120中高一（下）期末数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若
z
=
1
-
i
10
1
-
i
，则|z|=（　　）
A．1 B．
2
C．2 D．
2
2
组卷：106引用：1难度：0.8
解析
2．已知向量
a
=
（
-
2
，
1
）
，
b
=
（
1
，
1
）
，
c
=
a
+
k
b
．若
a
⊥
c
，则k=（　　）
A．5 B．3 C．0 D．-3
组卷：143引用：3难度：0.7
解析
3．若
2
sin
（
α
+
2022
π
）
-
cos
（
α
+
π
）
cos
（
α
-
3
π
2
）
-
3
cosα
=2，则
tan
（
α
+
π
4
）
=（　　）
A．
11
3
B．-
11
3
C．
3
11
D．-
3
11
组卷：244引用：4难度：0.8
解析
4．已知a=cos1，b=sin2，c=tan3，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b
组卷：171引用：2难度：0.7
解析
5．在△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a,b,c,且b=2，B=45°．若利用正弦定理解△ABC仅有唯一解，则（　　）
A．0＜a≤2 B．2＜a≤2
2
C．0＜a≤2或a≥2
2
D．0＜a≤2或a=2
2
组卷：200引用：2难度：0.7
解析
6．如图，一个底面半径为2a的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为
3
π
a
3
，则该圆锥的体积为（　　）
A．
2
3
3
π
a
3
B．
8
3
3
π
a
3
C．
4
3
π
a
3
D．
8
3
π
a
3
组卷：282引用：5难度：0.7
解析
7．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a,则表高（即AC的长）为（　　）
A．
（
2
-
3
）
a
B．
3
+
3
4
a
C．
3
-
1
4
a
D．
3
-
3
4
a
组卷：173引用：5难度：0.7
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

21．请在①向量
x
=
（
sin
B
，
a
-
c
b
+
c
）
，
y
=
（
b
-
c
c
+
a
，
sin
A
）
，且
x
⊥
y
；②
3
b
=
2
csin
（
A
+
π
3
）
这两个条件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足条件 ______．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为
2
3
，求2a+b的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
组卷：282引用：1难度：0.4
解析
22．如图，某公园改建一个三角形池塘，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏．

（1）若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且
∠
CPB
=
2
π
3
，求连廊AP+PC+PB的长（单位为百米）；
（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设S₂为图②中△DEF的面积，求S₂的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设S₃为图③中△DEF的面积，求S₃的取值范围．
组卷：153引用：4难度：0.7
解析