2022-2023学年福建省福州市八县高二（上）期中数学试卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

• 1．已知空间向量

  a

  =（m+1，m,-2），

  b

  =（-2，1，4），且

  a

  ⊥

  b

  ，则m的值为（　　）

  A．- 10 3

  B．-10

  C．10

  D． 10 3
  组卷：190引用：16难度：0.7

  解析

• 2．直线l：x+

  3

  y-3=0的倾斜角α为（　　）

  A． π 6

  B． 2 π 3

  C． π 3

  D． 5 π 6
  组卷：33引用：4难度：0.7

  解析

• 3．若椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（　　）

  A． 1 2

  B． 5 5

  C． 2 2

  D． 5
  组卷：165引用：7难度：0.7

  解析

• 4．两平行直线3x-2y-1=0和6x-4y+3=0间的距离是（　　）

  A． 5 13 26

  B． 4 13 13

  C． 2 13 13

  D． 3 13 3
  组卷：298引用：17难度：0.9

  解析

• 5．过点A（3，1）的圆C与直线x-y=0相切于点B（1，1），则圆C的方程为（　　）

  A．（x-2）2+y2=2	B．（x-2）2+（y-1）2=1
  C．（x-3）2+（y-4）2=9	D．（x-3）2+（y+1）2=8
  组卷：224引用：8难度：0.7

  解析

• 6．已知

  a

  =（2，-1，3），

  b

  =（-1，4，-2），

  c

  =（7，5，λ），若

  a

  ，

  b

  ，

  c

  共面，则实数λ的值为（　　）

  A． 62 7

  B． 63 7

  C． 65 7

  D． 60 7
  组卷：142引用：8难度：0.7

  解析

• 7．二面角α-l-β中，AB⊂α，AB⊥l,CD⊂β，CD⊥l,且B、C为垂足，AB=1，BC=2，CD=3，

  AD

  =

  17

  ，则二面角α-l-β大小为（　　）

  A． π 4

  B． π 3

  C． 2 π 3

  D． π 2
  组卷：64引用：1难度：0.6

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

• 21．如图，已知向量

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，可构成空间向量的一个基底，若

  a

  =

  （

  a

  1

  ，

  a

  2

  ，

  a

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  b

  1

  ，

  b

  2

  ，

  b

  3

  ）

  ，

  c

  =

  （

  c

  1

  ，

  c

  2

  ，

  c

  3

  ）

  ．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算

  a

  ×

  b

  =

  （

  a

  2

  b

  3

  -

  a

  3

  b

  2

  ，

  a

  3

  b

  1

  -

  a

  1

  b

  3

  ，

  a

  1

  b

  2

  -

  a

  2

  b

  1

  ）

  ，显然

  a

  ×

  b

  的结果仍为一向量，记作

  p

  
  （1）求证：向量

  p

  为平面OAB的法向量；
  （2）若

  a

  =

  （

  1

  ，-

  1

  ，

  7

  ）

  ，

  b

  =

  （

  0

  ，-

  3

  ，

  0

  ）

  ，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与

  |

  a

  ×

  b

  |

  的大小；
  （3）将四边形OADB按向量

  OC

  =

  c

  平移，得到一个平行六面体OADB-CA₁D₁B₁，试判断平行六面体的体积V与

  |

  （

  a

  ×

  b

  ）

  •

  c

  |

  的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）
  组卷：191引用：4难度：0.4

  解析

• 22．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD=2，AB=1，BC=

  2

  2

  ，PA=1，AB⊥BC，N为PD的中点．
  （1）求证：AN∥平面PBC；
  （2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是

  1

  3

  ？若存在，求出

  DM

  DP

  的值，若不存在，说明理由；
  （3）在平面PBC内是否存在点H，满足

  HD

  •

  HA

  =

  0

  ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状（不必证明）．
  组卷：87引用：3难度：0.5

  解析