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2023-2024学年河南省郑州市十校高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/14 5:0:2

一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分．

1．若{
a
，
b
，
c
}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A．
b
+
c
，
b
，
b
-
c
B．
a
，
a
+
b
，
a
-
b
C．
a
+
b
，
a
-
b
，
c
D．
a
+
b
，
a
+
b
+
c
，
c
组卷：1568引用：27难度：0.8
解析
2．直线3x+2y-1=0的一个方向向量是（　　）
A．（2，-3） B．（2，3） C．（-3，2） D．（3，2）
组卷：1874引用：41难度：0.9
解析
3．如图所示，三棱锥O-ABC中，
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
c
，且
OM
=
3
MA
，
BN
=
NC
，则
MN
=（　　）
A．
1
4
a
+
1
3
b
+
1
3
c
B．
-
1
4
a
+
1
3
b
+
1
3
c
C．
-
3
4
a
+
1
2
b
+
1
2
c
D．
3
4
a
+
1
2
b
+
1
2
c
组卷：290引用：5难度：0.8
解析
4．已知方程
x
2
2
-
m
+
y
2
m
+
1
=
1
表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是（　　）
A．（-1，2） B．
（
-
1
，
1
2
）
∪
（
1
2
，
2
）
C．
（
-
1
，
1
2
）
D．
（
1
2
，
2
）
组卷：2302引用：7难度：0.8
解析
5．直线l₁：ax+3y+1=0，l₂：2x+（a-1）y-1=0，若l₁∥l₂，则a的值为（　　）
A．3 B．2 C．-3或2 D．3或-2
组卷：191引用：7难度：0.7
解析
6．已知F₁，F₂是椭圆C：
x
2
9
+
y
2
4
=1的两个焦点，点M在C上，则|MF₁|•|MF₂|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
组卷：9434引用：51难度：0.7
解析
7．设直线l的方程为x-ysinθ+2=0，则直线l的倾斜角α的范围是（　　）
A．[0，π] B．
[
π
4
，
π
2
]
C．
[
π
4
，
3
π
4
]
D．
[
π
4
，
π
2
）
∪
（
π
2
，
3
π
4
]
组卷：763引用：28难度：0.7
解析

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四、解答题：共6小题，共计70分

21．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．
组卷：1476引用：28难度：0.5
解析
22．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4，A₁在底面ABC的射影为BC的中点，D是B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁D⊥平面A₁BC；
（2）求二面角B-A₁D-B₁的平面角的正切值．
组卷：267引用：6难度：0.5
解析

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A． b + c ， b ， b - c	B． a ， a + b ， a - b
C． a + b ， a - b ， c	D． a + b ， a + b + c ， c

A． 1 4 a + 1 3 b + 1 3 c	B． - 1 4 a + 1 3 b + 1 3 c
C． - 3 4 a + 1 2 b + 1 2 c	D． 3 4 a + 1 2 b + 1 2 c

A．（-1，2）	B．（ - 1 ， 1 2 ） ∪ （ 1 2 ， 2 ）
C．（ - 1 ， 1 2 ）	D．（ 1 2 ， 2 ）

A．[0，π]	B． [ π 4 ， π 2 ]
C． [ π 4 ， 3 π 4 ]	D． [ π 4 ， π 2 ） ∪ （ π 2 ， 3 π 4 ]

2023-2024学年河南省郑州市十校高二（上）期中数学试卷

一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分．

1．若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）

2．直线3x+2y-1=0的一个方向向量是（ ）

3．如图所示，三棱锥O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c，且OM=3MA，BN=NC，则MN=（ ）

4．已知方程x22-m+y2m+1=1表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是（ ）

5．直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a-1）y-1=0，若l1∥l2，则a的值为（ ）

6．已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（ ）

7．设直线l的方程为x-ysinθ+2=0，则直线l的倾斜角α的范围是（ ）

四、解答题：共6小题，共计70分

21．已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，（1）求证：直线l恒过定点；（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．

22．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角B-A1D-B1的平面角的正切值．

1．若{
a
，
b
，
c
}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）

2．直线3x+2y-1=0的一个方向向量是（　　）

3．如图所示，三棱锥O-ABC中，
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
c
，且
OM
=
3
MA
，
BN
=
NC
，则
MN
=（　　）

4．已知方程
x
2
2
-
m
+
y
2
m
+
1
=
1
表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是（　　）

5．直线l₁：ax+3y+1=0，l₂：2x+（a-1）y-1=0，若l₁∥l₂，则a的值为（　　）

6．已知F₁，F₂是椭圆C：
x
2
9
+
y
2
4
=1的两个焦点，点M在C上，则|MF₁|•|MF₂|的最大值为（　　）

7．设直线l的方程为x-ysinθ+2=0，则直线l的倾斜角α的范围是（　　）

21．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．

22．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4，A₁在底面ABC的射影为BC的中点，D是B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁D⊥平面A₁BC；
（2）求二面角B-A₁D-B₁的平面角的正切值．