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2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷

发布：2024/10/7 3:0:2

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1．已知集合A={x|lgx≤0}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=（　　）
A．A B．B C．∁_RA D．∁_RB
组卷：13引用：1难度：0.8
解析
2．已知向量
a
=（-3，m），
b
=（1，-2），若
b
∥
（
a
-
b
），则m的值为（　　）
A．-6 B．-4 C．0 D．6
组卷：148引用：4难度：0.8
解析
3．若函数f（x）=
a
x
-
3
，
x
≥
4
-
ax
+
4
，
x
＜
4
（a＞0，a≠1）是定义在R上的单调函数，则a的取值范围为（　　）
A．
（
0
，
1
）
∪
（
1
，
5
4
]
B．
（
1
，
5
4
]
C．
（
0
，
4
5
]
D．
[
4
5
，
1
）
组卷：66引用：1难度：0.8
解析
4．若复数z满足（1+i）z=|1+i|，则
z
的虚部为（　　）
A．
-
2
i
B．
-
2
2
C．
2
2
i
D．
2
2
组卷：63引用：1难度：0.7
解析
5．数列{a_n}满足a₁=2019，且对∀n∈N^*，恒有
a
n
+
3
=
a
n
+
2
n
，则a₇=（　　）
A．2021 B．2023 C．2035 D．2037
组卷：155引用：3难度：0.8
解析
6．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则
SM
SN
的值为（　　）
A．
4
3
B．
3
2
C．
2
3
D．
3
4
组卷：209引用：5难度：0.6
解析
7．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，且f（x）为偶函数，
f
（
π
6
）
=
-
2
，3f（x）cosx+f'（x）sinx＞0，则不等式
f
（
x
+
π
2
）
co
s
3
x
+
1
2
＞
0
的解集为（　　）
A．
（
-
π
3
，
+
∞
）
B．
（
-
2
π
3
，
+
∞
）
C．
（
-
2
π
3
，
π
3
）
D．
（
π
3
，
+
∞
）
组卷：16引用：3难度：0.5
解析

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜．如图，平面镜宽BC为2m,某人在A点处观察到自己在平面镜中所成的像为A′．当且仅当线段AA′与线段BC有异于B，C的交点D时，此人能在镜中看到自己的像．已知
∠
BAC
=
π
3
．
（1）若在A点处能在镜中看到自己的像，求
AC
AB
的取值范围；
（2）求某人在A处与其在平面镜中的像的距离AA′的最大值．
组卷：19引用：2难度：0.4
解析
22．设f（x）=ax²+cosx-1，a∈R．
（1）当
a
=
1
π
时，求函数f（x）的最小值；
（2）当
a
≥
1
2
时．证明：f（x）≥0；
（3）证明：
cos
1
2
+
cos
1
3
+
⋯
+
cos
1
n
＞
n
-
4
3
（
n
∈
N
*
，
n
＞
1
）
．
组卷：334引用：7难度：0.2
解析

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A．（ 0 ， 1 ） ∪ （ 1 ， 5 4 ]	B．（ 1 ， 5 4 ]
C．（ 0 ， 4 5 ]	D． [ 4 5 ， 1 ）

2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1．已知集合A={x|lgx≤0}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=（ ）

2．已知向量a=（-3，m），b=（1，-2），若b∥（a-b），则m的值为（ ）

3．若函数f（x）=ax-3，x≥4-ax+4，x＜4（a＞0，a≠1）是定义在R上的单调函数，则a的取值范围为（ ）

4．若复数z满足（1+i）z=|1+i|，则z的虚部为（ ）

5．数列{an}满足a1=2019，且对∀n∈N*，恒有an+3=an+2n，则a7=（ ）

6．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则SMSN的值为（ ）

7．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，且f（x）为偶函数，f（π6）=-2，3f（x）cosx+f'（x）sinx＞0，则不等式f（x+π2）cos3x+12＞0的解集为（ ）

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

22．设f（x）=ax2+cosx-1，a∈R．（1）当a=1π时，求函数f（x）的最小值；（2）当a≥12时．证明：f（x）≥0；（3）证明：cos12+cos13+⋯+cos1n＞n-43（n∈N*，n＞1）．

1．已知集合A={x|lgx≤0}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=（　　）

2．已知向量
a
=（-3，m），
b
=（1，-2），若
b
∥
（
a
-
b
），则m的值为（　　）

3．若函数f（x）=
a
x
-
3
，
x
≥
4
-
ax
+
4
，
x
＜
4
（a＞0，a≠1）是定义在R上的单调函数，则a的取值范围为（　　）

4．若复数z满足（1+i）z=|1+i|，则
z
的虚部为（　　）

5．数列{a_n}满足a₁=2019，且对∀n∈N^*，恒有
a
n
+
3
=
a
n
+
2
n
，则a₇=（　　）

6．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则
SM
SN
的值为（　　）

7．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，且f（x）为偶函数，
f
（
π
6
）
=
-
2
，3f（x）cosx+f'（x）sinx＞0，则不等式
f
（
x
+
π
2
）
co
s
3
x
+
1
2
＞
0
的解集为（　　）

22．设f（x）=ax²+cosx-1，a∈R．
（1）当
a
=
1
π
时，求函数f（x）的最小值；
（2）当
a
≥
1
2
时．证明：f（x）≥0；
（3）证明：
cos
1
2
+
cos
1
3
+
⋯
+
cos
1
n
＞
n
-
4
3
（
n
∈
N
*
，
n
＞
1
）
．