2023年上海市徐汇区南洋模范中学高考数学三模试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．设集合A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=1-x²，x∈R}，则A∩B=

  ．
  组卷：103引用：1难度：0.8

  解析

• 2．复数

  z

  =

  4

  -

  5

  i

  i

  （其中i为虚数单位）的虚部是

  ．
  组卷：33引用：1难度：0.8

  解析

• 3．函数y=ln（-x）沿着向量

  a

  平移后得到函数y=ln（1-x）+2，则向量

  a

  的坐标是

  ．
  组卷：37引用：1难度：0.8

  解析

• 4．已知扇形圆心角α=60°，α所对的弧长l=6π，则该扇形面积为

  ．
  组卷：177引用：12难度：0.7

  解析

• 5．已知直线l₁：（m-2）x-3y-1=0与直线l₂：mx+（m+2）y+1=0相互平行，则实数m的值是

  ．
  组卷：232引用：7难度：0.7

  解析

• 6．已知1＜a＜4，则

  a

  4

  -

  a

  +

  1

  a

  -

  1

  的最小值是

  ．
  组卷：1022引用：9难度：0.6

  解析

• 7．已知

  （

  x

  +

  a

  ）

  7

  （

  1

  x

  3

  -

  2

  ）

  的展开式中各项系数和为-128，则该展开式中x³的系数是

  ．
  组卷：74引用：4难度：0.8

  解析

三、解答题（本大题共5题，满分78分）

• 20．已知P（x₀，y₀）是焦距为

  4

  2

  的双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  上一点，过P的一条直线l₁与双曲线C的两条渐近线分别交于P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且

  3

  OP

  =

  O

  P

  1

  +

  2

  O

  P

  2

  ，过P作垂直的两条直线l₂和l₃，与y轴分别交于A，B两点，其中l₂与x轴交点的横坐标是

  a

  2

  x

  0

  ．
  （1）求x₁x₂-y₁y₂的值；
  （2）求

  S

  △

  O

  P

  1

  P

  2

  的最大值，并求此时双曲线C的方程；
  （3）判断以AB为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由．
  组卷：80引用：1难度：0.6

  解析

• 21．设y=f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为y=f'（x）．如果存在实数a和函数y=h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数y=f（x）具有性质P（a）．
  （1）设函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  +

  b

  +

  2

  x

  +

  1

  （

  x

  ＞

  1

  ）

  ，其中b为实数．
  （ⅰ）判断函数y=f（x）是否具有性质P（b），请说明理由；
  （ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．
  （2）已知函数g（x）具有性质P（2）．给定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，设m为实数，α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，且α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x₁）-g（x₂）|，求m的取值范围．
  组卷：79引用：2难度：0.6

  解析