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2022-2023学年北京五十七中高二（上）月考数学试卷（10月份）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分）

1．集合A={1，2，3，5，7，11}B={x|（x-3）（x-15）＜0}，则A∩B中元素的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
组卷：61引用：2难度：0.9
解析
2．已知a∈R，（1+ai）i=3+i（i为虚数单位），则a=（　　）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
组卷：2634引用：21难度：0.9
解析
3．已知m,n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，那么m∥n；
②如果m∥n,n⊥α，那么m⊥α；
③如果α⊥β，m⊂α，n⊂β，那么n⊥m；
④如果α∩β=m,n⊥m,n⊂α，那么n⊥β．
其中正确命题的个数有（　　）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
组卷：139引用：2难度：0.7
解析
4．函数
f
（
x
）
=
2
sin
（
ωx
+
φ
）
（
ω
＞
0
，
|
φ
|
＜
π
2
）
的部分图象如图所示，则
f
（
π
2
）
的值为（　　）
A．
-
3
B．
3
C．-1 D．1
组卷：447引用：2难度：0.6
解析
5．已知
a
、
b
均为单位向量，（2
a
+
b
）•（
a
-2
b
）=-
3
3
2
，
a
与
b
的夹角为（　　）
A．30° B．45° C．135° D．150°
组卷：135引用：16难度：0.9
解析
6．当复数z满足|z-3+4i|=1时，则|z-2|的最大值是（　　）
A．
41
+1 B．
17
+1 C．
15
+1 D．
13
+1
组卷：163引用：3难度：0.8
解析
7．设α，β均为锐角，且tanαcosβ-sinβ=1，则（　　）
A．3α+β=π B．
2
α
+
β
=
π
2
C．3α-β=π D．
2
α
-
β
=
π
2
组卷：145引用：2难度：0.7
解析

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三、解答题（共6个题，满分80分）

22．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的菱形，AB=BC=
13
，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面B₁BD与棱A₁C₁交于点E．
（Ⅰ）求证：BB₁∥DE；
（Ⅱ）若
AD
AC
=
3
4
，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面B₁BDE所成角的正弦值．
条件①：平面ABC⊥平面AA₁C₁C；
条件②：∠A₁AC=60°；
条件③：A₁B=
21
．
组卷：566引用：6难度：0.5
解析
23．定义R_p数列{a_n}：对实数p,满足：①a₁+p≥0，a₂+p=0；②∀n∈N^*，a_4n-1＜a_4n；③a_m+n∈{a_m+a_n+p,a_m+a_n+p+1}，m,n∈N^*．
（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是R₂数列吗？说明理由；
（2）若{a_n}是R₀数列，求a₅的值；
（3）是否存在p,使得存在R_p数列{a_n}，对∀n∈N^*，S_n≥S₁₀？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
组卷：70引用：2难度：0.2
解析